Cuadrados mágicos para adivinar el pensamiento

Hace cosa de dos meses vi a un mago hacer un truco de adivinación del pensamiento. El mago elegía a alguien del público y le pedía que pensara un color. Tras unos segundos de concentración, le “llegaba” el pensamiento, lo anotaba en una pizarra y le pedía al espectador que lo dijera en voz alta (“naranja”). A continuación, se repetía el proceso, con un animal (que resultó ser “murciélago”) y con un número (fue “34”). Finalmente, el mago daba la vuelta a la pizarra, que tenía tres casillas: en la primera ponía naranja, en la segunda murciélago, y en la tercera, 34. Grandes aplausos.

No soy de esos listos que se sienten en la obligación de destripar el truco. Normalmente me limito a sentarme y a disfrutar; además, no suelo tener la menor idea de cómo lo hacen. Pero en este caso, la manera de elegir el número me puso en guardia. En vez de pedirle a alguien que lo pensara, se hacía una cosa mucho más elaborada. El mago invitaba a un niño a subir al escenario, y le ponía ante un cuadrado formado por 16 números. Con un rotulador, el niño tachaba la fila y la columna que quisiera, y marcaba el número en que se cruzaban. Marcaba otra fila y otra columna, y así hasta cuatro veces. Sumaba los cuatro números marcados y ese era el número elegido, el que el mago había adivinado (y escrito en la pizarra) previamente.

Naturalmente, pensé de inmediato en un cuadrado mágico (¿qué puede ser más apropiado para un mago?).

Para explicar qué es un cuadrado mágico, empezamos colocando los 16 números en orden:

\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16  \end{array} \right] \

Por supuesto cada hilera, sea horizontal (fila) o vertical (columna), suma un número distinto. Pero podemos desordenarlos hábilmente para que todos los resultados sean iguales. Entonces tenemos un cuadrado mágico. Probablemente el más célebre es el que aparece en Melancolía, el grabado de Durero:

es decir:

\left[ \begin{array}{cccc} 16 & 3 & 2 & 13 \\ 5 & 10 & 11 & 8 \\ 9 & 6 & 7 & 12 \\ 4 & 15 & 14 & 1 \end{array} \right] \

Todas las hileras (y hasta las diagonales) suman 34.

Pero….¡34 es el número que adivinó el mago! Su cuadrado debía ser una variante de cuadrado mágico, sólo que en él lo que suma siempre 34 no son las hileras sino algo que voy a llamar antihileras: conjuntos de cuatro números para los que no se repite ni fila ni columna. Por ejemplo, las diagonales son antihileras, pero hay muchas más: en el cuadrado ordenado de arriba, los números 1, 7, 12 y 14 forman una antihilera. No es difícil contar el número de antihileras: para un cuadrado 4 x 4 hay 96 24 diferentes (24 = 4!).

Desde que vi el truco llevo pensando en cómo construir un cuadrado 4 x 4 que sea mágico por antihileras; es decir, en el que todas las posibles antihileras sumen lo mismo (pensé en llamarlo cuadrado antimágico, pero el nombre ya se ha usado para otra cosa). No parece fácil, porque hay que conseguir 96 24 sumas iguales, frente a ocho en un cuadrado mágico ordinario (“mágico por hileras”), o diez si imponemos la condición también a las diagonales).

Hace un par de días encontré una solución. Y lo mejor es que es tan sencilla (bochornosamente sencilla, para haber tardado dos meses en encontrarla)… que les voy a dejar a ustedes el placer de dar con ella.

Postdata: No he explicado del todo el truco del mago. Está claro cómo adivinaba el número, pero ¿cómo adivinaba el color y el animal? Muy sencillo: los escribía después de que se hubieran dicho en voz alta. Lo que escribía al principio del truco, antes de que dijeran el color, era el número.

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41 respuestas a Cuadrados mágicos para adivinar el pensamiento

  1. H dijo:

    El cuadrado numerico más “fácil” cumple con tu condición.

    Cada fila “vale” 0,4,8 o 12, cada columna 1,2,3 o 4. Cada celda el valor de su fila mas el de su columna.

    34 = (1+2+3+4) + (0+4+8+12)

  2. fenixpass dijo:

    bien el viejo truco de piensa un numero?

  3. pseudopodo dijo:

    ¡Premio para mr. H! En efecto, el cuadrado 4×4 ordenado que puse al principio es un cuadrado “mágico por antihileras”. En realidad no hacía ninguna falta poner ese cuadrado en el texto; ponerlo fue una travesura que imitaba a “La carta robada” de Poe…

    La demostración de H es elegante; a mí se me había ocurrido un argumento más “físico” para entender por qué el cuadrado ordenado cumple la condición. Me imagino que los números son alturas (z) de una función sobre el plano (x,y), donde “x” son las filas e “y” las columnas. En el cuadrado ordenado, la función z(x,y) sería un plano (con una pendiente según “y” cuatro veces mayor que según “x”). Sumar los números de una antihilera es hacer un “muestreo” de esas alturas. La condición de antihilera significa que ese muestreo está en cierto sentido equiespaciado en “x” e “y”, y por eso todos esos muestreos dan el mismo resultado: 4 veces la altura media.

    [Disclaimer: comienza un párrafo que probablemente sólo me interesa a mí, sobre los azares del descubrimiento científico, incluso en el problema más trivial]
    De todas formas, encontré que la solución a mi problema era el cuadrado ordenado por un método mucho más complicado: quería reordenar un cuadrado mágico ordinario, convirtiendo sus hileras en antihileras. Lo conseguí usando un cuadrado grecolatino, pero no todas las antihileras sumaban lo mismo (no es raro, porque hay muchas más antihileras que hileras). Lo dejé durante un tiempo, y esta Semana Santa repetí el procedimiento. No tenía a mano ningún cuadrado mágico y no tenía Internet. Afortunadamente tenía apuntado el cuadrado grecolatino y se me ocurrió un método para generar, a partir de éste, el cuadrado mágico. Y resulta que mi método de reordenación, aplicado a ese tipo de cuadrado mágico, sí que da un cuadrado mágico por antihileras… No obtuve el cuadrado ordenado, pero mé di cuenta de que reordenando filas y columnas se llegaba al ordenado. Supongo que el mago usó una versión desordenada, porque en otro caso recodaría que eran simplemente los números en orden…
    [Fin del párrafo que probablemente sólo me interesa a mí]

    Me gusta este problema porque la condición que se tiene que cumplir parece muy peculiar y difícil, pero resulta ser trivial: verdaderamente antimágico. Pero también lo podemos entenderlo al revés: lo trivial, si lo sabemos mirar, puede tener unas propiedades incluso más peculiares y difíciles que lo mágico…

  4. Javier dijo:

    Otra demostración: la primera columna suma 1+5+9+13=28. Cogeremos
    uno de esos cuatro números, otro distinto sumado 1 (segunda
    columna), otro sumando 2 y otro sumando 3. En total, sumaremos seis
    al hacer la elección y llegamos a 34. El mismo argumento se ve por filas.

    Por otro lado,
    \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{16} i=\frac{17 \times 16}{4 \times 2}=34,
    luego es la única posible suma para el cuadrado
    mágico y para el antimágico.

    Hechos fáciles de probar (si no me paso de listo): Dado cualquiera
    de ambos tipos de cuadrado, una permutación arbitraria de filas y
    columnas mantiene el carácter. También lo hacen las cuatro simetrías
    geométricas del cuadrado (dos de ellas son permutaciones) y las tres
    rotaciones.

    Si partimos del de Durero y le damos la vuelta a las dos columnas
    centrales (las leemos de abajo a arriba) llegamos a un cuadrado
    antimágico. Este swapping se puede hacer, obviamente, también con
    las dos filas centrales. Igualmente los pares (1,4) de filas y
    columnas pueden ser swapeados y llegamos a lo mismo. Es una especie
    de movimiento de cubo de Rubik, moviendo todo lo de fuera, o todo lo
    de dentro.

    Dudas que me surgen y que en vez de responder, me voy a la cama: (1)
    Unicidad. Aparte de las transformaciones mentadas, ¿cuántos
    cuadrados antimágicos distintos hay? (2) ¿Hay una biyección entre
    cuadrados mágicos y antimágicos? (3) ¿Cuál es el nombre técnico de
    antihilera? Salen cuando calculas determinantes o permanentes, pero
    nunca se me ha ocurrido que tuvieran nombre. ¿O es antihilera
    correcto? (4) ¿Se nos ha ido la cabeza o nos hemos vuelto de
    álgebra?

  5. Pedro Terán dijo:

    Hay un truco muy aparente que se hace sobre una hoja de calendario: se pide al voluntario que marque un cuadrado cualquiera de 4×4 (nosotros lo vemos). Luego, fuera de nuestra vista, el voluntario rodea un número y tacha los de la misma fila y columna; así por tres veces, con lo que queda un solo número. Ahora no recuerdo qué es exactamente lo que se hace para acabar: si se le pregunta ese número y se adivina la suma de los otros tres, si se le pregunta la suma y se adivina el cuarto número, o si directamente se adivina la suma de los cuatro.

  6. pseudopodo dijo:

    Javier, de acuerdo con los “hechos fáciles” sobre las transformaciones de simetría.

    Lo del swapping me ha dejado perplejo. Si lo hacemos con las columnas centrales del cuadrado de Durero, lo que obtenemos es:
    \left[ \begin{array}{cccc} 16 & 15 & 14 & 13 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right] \
    que no es antimágico… Pero si hacemos otro swapping, a las dos filas centrales, tenemos:
    \left[ \begin{array}{cccc} 16 & 15 & 14 & 13 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 12 & 11 & 10 & 9 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right] \
    que ya es el cuadrado antimágico original, salvo transformaciones de simetría. Es realmente curioso.

    Sobre las dudas:

    (1) Yo apostaría a que el cuadrado “trivial” es el único antimágico, salvo transformaciones. ¿Por qué? Cualquier cuadrado antimágico, permutando filas y columnas, puede dejarse en “forma normal” (con la primera fila y la primera columna en orden creciente). No veo cómo conseguir un cuadrado antimágico en forma normal que no sea el trivial. Pero es intuición, no lo sé demostrar.

    (2) Biyección: no. Tiene que haber más cuadrados mágicos que antimágicos. Tiene que ser así si es cierto (1), pero hay otro argumento. Como decía en el comentario anterior, mis primeros intentos de conseguir un cuadrado antimágico se basaban en transformar uno mágico mediante un cuadrado grecolatino, como este:
    \left[ \begin{array}{cccc} a1 & b2 & c3 & d4 \\ b3 & a4 & d1 & c2 \\ c4 & d3 & a2 & b1 \\ d2 & c1 & b4 & a3 \end{array} \right] \
    El método consiste en construir un nuevo cuadrado llevando a donde pone, por ejemplo, b4, la celda de la fila 2ª y la columna 4ª del cuadrado mágico. Pero con esto no se consigue en general un cuadrado antimágico. Sin embargo, si partimos de un cuadrado antimágico, con esa transformación siempre conseguimos un cuadrado mágico. De modo que no hay biyección.

    (3) Eso me gustaría saber a mí. Lo busqué en un libro de álgebra, pero no encontré que le dieran nombre y me inventé lo de antihilera.

    (4) Mira que a mí siempre me pareció que el álgebra era un aburrimiento…yo creo que es la primavera.

    Pedro: lo tengo que pensar (y probar)…

  7. El mago sabe que el número que “adivinará” será el 34, desués de eso lo de el color y el animal es un viejo truco:

    Primero adivinará el color, para lo que el mago se concentra y supuestamente escribe un color en la pizarra. En realidad el mago escribe el número 34 en la pizarra.

    Después el niño dice que el color que encontró es Naranja. el mago lo guarda en la memoria.

    Ahora el mago adivina un animal, para eso escribe un nombre de animal en la pizarra!! pero no, no escribe ningún nombre de animal, a cambio escribe “naranja” acto seguido el niño grita que el animal que pensó es murciélago!!

    Al final el mago hace su truco del cuadrado mágico pero en vez de escribir el número 34, que ya sabe que es el que tiene que adivinar, escribe murciélago! y su pizarra está completa! Procede a hacer las cuentas con el cuadrado mágico y evidentemente al final tendrá en su pizarra lo esperado!!

  8. pseudopodo dijo:

    ¡Impulsivo Rogelio! ¡No te habías leído la postdata! De todos modos, lo explicas mejor que yo… y me alegro de ver que sigues ahí :-)

  9. loiayirga dijo:

    Tengo dos curiosidades. ¿Le has repetido tú el truco a tu hijo siendo tú el mago? ¿Le has explicado el truco suponiendo que tenga ya edad para entenderlo?

  10. pseudopodo dijo:

    La verdad es que vi al mago con mi hijo y mi mujer (que fue la que entendió realmente del truco, yo sólo me día cuenta de que el cuadrado debía sumar siempre 34). Al niño, que tiene siete años, no le he explicado nada de esto. Eso sí, un día, mientras pensaba en estas cosas, le puse como deberes hacer todas las sumas de un cuadrado mágico…

  11. Rogelio Yoyontzin dijo:

    Sigo aquí, callado, pero atento!!!

  12. YusepeVK dijo:

    Buenísimo

  13. kmila dijo:

    t odiio fresiiia vieja ……

  14. marco dijo:

    viejo, la verdad no entendí nada juass

  15. Nave dijo:

    Unos cuantos numerajos:
    a) Si lo he entendido bien, el número de antihileras es el mismo que el de sumandos al calcular el determinante de la matriz. Si es así sólo salen 24 (=4! (factorialde 4)), no 96 ¿¿?? ¿Has tenido en cuenta que no importa el orden en que elijas los números de la antihilera?
    b) El cuadrado ordenado cumple las condiciones necesarias, y si tenemos en cuenta lo dicho por H, cualquier permutación de filas y/o columnas de dicho cuadrado también lo cumplirá. Como tenemos 4! permutaciones de filas y otras 4! permutaciones de columnas, independientes entre sí, en total puede haber 4! x 4! = 576 posibles cuadrados “antimágicos” por ese método. Cualquiera de ellos puede ser el que viste en la actuación. ¿Existen otros? No creo, pero no se me ocurre una demostración.
    c) El número de cuadrados que se pueden formar con los números del 1 al 16 es 16!, aprox. 21×10^12 ¿Para que sirve ésto? Para nada, salvo que se nos ocurra alguna forma de combinarlo con las 24 ecuaciones de antihilera para demostrar que sólo se pueden formar 576 cuadrados.

  16. pseudopodo dijo:

    Glups, tienes razón, Nave, son 24. No tuve en cuenta que no importa el orden. Lo corrijo (¡gracias!).

    En cuanto a lo demás, ya dije que sospecho que sólo hay un cuadrado “antimágico” (mágico por antihileras), salvo operaciones de simetría. Pero seguimos sin poder demostrarlo…

  17. Pingback: CUADRADOS PARA ADIVINAR EL PENSAMIENTO. « El blog del Salvador

  18. Jc dijo:

    LA LOGICA ES LO MEJOR Q EXISTE

  19. alondra dijo:

    ¿como se llama mi enamorado?

  20. FELLOW dijo:

    ¿PODRIAS PONER UNOS CUADRADOS MAGICOS PERO DE TRES FILAS?

  21. santiagoa andres dijo:

    mi correo es sanandresmm@hotmail.com
    ahh y ese truco es muy viejo marik

  22. dago duque dijo:

    Favor como se hace y explicar el nombre del enamorado.Gracias.

  23. jhonny dijo:

    esta muy bueno el truco … aunq tlvs se podria utilizar el viejo truco de adivinar q numero estas pensando … XD

  24. lolo dijo:

    es una cacharra

  25. maria dijo:

    los cuadrados magicos son lo mas!!!!es uno de los mejores juegos matematicos 4ever!!!!!!!!!!!!!!!!

  26. Bea dijo:

    Hola!!

    Soy una estudiante de mates. Hoy me he puesto a trastear en internet viendo cosas sobre los cuadrados mágicos y estos comments m han parecido muy interesantes, ¡os felicito!

  27. cupido dijo:

    GRACIAS POR AYUDARME A RECUPERAR LOGICA…

  28. MaRiAnA dijo:

    8yvchu7qhnbi kjd.vib jolkm

  29. juanes dijo:

    amigos necesito ayuda por favor!!
    un cuadro de 3×3. con numero del 26 al 34 y deben quedar con la suma de todos las columnas y filas de un mismo valor..me ayudan por fa

  30. moxa dijo:

    NESECITO AYUDA PARA UN CUADRADO DE 3X3 CON LOS NUMEROS DEL 8 AL18 Y DEVE DE QUEDAR EN 38
    AyUdA!!!!!!!!!!
    PORFAVOR!!!¡¡¡

    • mandrago dijo:

      Una posible solución, pero con suma de filas, columnas y diagonales 39 en lugar de 38. (El método que empleo no me permite obtener 38, ¿es posible un error en el enunciado?)

      16 8 15
      12 13 14
      11 18 10

  31. hesaim dijo:

    oigan amigos yo tambien buscaba trucos de magia para ligar a una mujer pero un dia como hoy mi suerte cambio, ahora si quiero encamarme con una mujer uso los trucos mentales mas poderos mejor lee esta web manipulacionmental.blogspot.com veran la diferencia

  32. cariiito dijo:

    graciiiaaaaaas‼♥ lo nesesitaba para un deberrr

  33. catalina dijo:

    tengo una pregunta: a mi me la hicieron de adivinar los colores y los números etc etc pero no en una pizarra si no en unos papeles

  34. catalina dijo:

    como lo hago para saber como lo hiso

  35. adrian dijo:

    muy interesante gtracias por compartilo

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