Cuadrados mágicos para adivinar el pensamiento

Hace cosa de dos meses vi a un mago hacer un truco de adivinación del pensamiento. El mago elegía a alguien del público y le pedía que pensara un color. Tras unos segundos de concentración, le “llegaba” el pensamiento, lo anotaba en una pizarra y le pedía al espectador que lo dijera en voz alta (“naranja”). A continuación, se repetía el proceso, con un animal (que resultó ser “murciélago”) y con un número (fue “34”). Finalmente, el mago daba la vuelta a la pizarra, que tenía tres casillas: en la primera ponía naranja, en la segunda murciélago, y en la tercera, 34. Grandes aplausos.

No soy de esos listos que se sienten en la obligación de destripar el truco. Normalmente me limito a sentarme y a disfrutar; además, no suelo tener la menor idea de cómo lo hacen. Pero en este caso, la manera de elegir el número me puso en guardia. En vez de pedirle a alguien que lo pensara, se hacía una cosa mucho más elaborada. El mago invitaba a un niño a subir al escenario, y le ponía ante un cuadrado formado por 16 números. Con un rotulador, el niño tachaba la fila y la columna que quisiera, y marcaba el número en que se cruzaban. Marcaba otra fila y otra columna, y así hasta cuatro veces. Sumaba los cuatro números marcados y ese era el número elegido, el que el mago había adivinado (y escrito en la pizarra) previamente.

Naturalmente, pensé de inmediato en un cuadrado mágico (¿qué puede ser más apropiado para un mago?).

Para explicar qué es un cuadrado mágico, empezamos colocando los 16 números en orden:

Por supuesto cada hilera, sea horizontal (fila) o vertical (columna), suma un número distinto. Pero podemos desordenarlos hábilmente para que todos los resultados sean iguales. Entonces tenemos un cuadrado mágico. Probablemente el más célebre es el que aparece en Melancolía, el grabado de Durero:

es decir:

Todas las hileras (y hasta las diagonales) suman 34.

Pero….¡34 es el número que adivinó el mago! Su cuadrado debía ser una variante de cuadrado mágico, sólo que en él lo que suma siempre 34 no son las hileras sino algo que voy a llamar antihileras: conjuntos de cuatro números para los que no se repite ni fila ni columna. Por ejemplo, las diagonales son antihileras, pero hay muchas más: en el cuadrado ordenado de arriba, los números 1, 7, 12 y 14 forman una antihilera. No es difícil contar el número de antihileras: para un cuadrado 4 x 4 hay 96 24 diferentes (24 = 4!).

Desde que vi el truco llevo pensando en cómo construir un cuadrado 4 x 4 que sea mágico por antihileras; es decir, en el que todas las posibles antihileras sumen lo mismo (pensé en llamarlo cuadrado antimágico, pero el nombre ya se ha usado para otra cosa). No parece fácil, porque hay que conseguir 96 24 sumas iguales, frente a ocho en un cuadrado mágico ordinario («mágico por hileras»), o diez si imponemos la condición también a las diagonales).

Hace un par de días encontré una solución. Y lo mejor es que es tan sencilla (bochornosamente sencilla, para haber tardado dos meses en encontrarla)… que les voy a dejar a ustedes el placer de dar con ella.

Postdata: No he explicado del todo el truco del mago. Está claro cómo adivinaba el número, pero ¿cómo adivinaba el color y el animal? Muy sencillo: los escribía después de que se hubieran dicho en voz alta. Lo que escribía al principio del truco, antes de que dijeran el color, era el número.