Órdenes de magnitud (I): Billones no, gracias

Un concepto muy apreciado por los físicos es el de “orden de magnitud”. Es una herramienta sumamente útil para pensar con claridad, pero es casi desconocida fuera de la ciencia y la ingeniería. Y es una pena, porque se trata de algo bien sencillo: simplemente, de una elaboración de la idea cotidiana de “tamaño aproximado”.

10^810^710^6

Casi todo el mundo diría que una naranja tiene aproximadamente el mismo tamaño que una manzana, mientras que una cereza es bastante más pequeña y una sandía bastante más grande. Pero el mundo de la física es mucho más extenso que el cotidiano, y abarca una variedad de tamaños inmensa: el diámetro de la Vía Láctea es 591250000000000000000000000000000000 veces mayor que el diámetro de un protón. Enfrentado a tal diversidad de escalas, el físico considera que la diferencia entre la cereza y la sandía es insignificante: al fin y al cabo las dos se miden en centímetros… Otra cosa son ya los planetas, cuyo tamaño se mide en miles de kilómetros, o las células, que se miden en micras (1 micra = una milésima de milímetro). Eso son ya diferencias importantes, y decimos que el orden de magnitud de la fruta es distinto que el de los planetas y que el de las células.

Vemos que objetos de distinto orden de magnitud se miden con unidades distintas. Es lógico: es mucho más cómodo decir que una célula mide “diez micras” que “diez millonésimas de metro”, o decir que el diámetro de nuestra galaxia es de “cien mil años luz” en vez de “mil trillones de metros”. Pero ¿y si queremos hacer comparaciones? Entonces hay que usar las mismas unidades ¿Tenemos que escribir que el tamaño de la célula es de 0.00001 metros y que el de la galaxia es de 1.000.000.000.000.000.000.000 metros?

En realidad, un número de 22 cifras como este nunca se encuentra en un libro científico, igual que nunca se encuentra una expresión como “mil trillones de metros” (me refiero a libros serios, no a los de Carl-Billions-and-Billions-Sagan) A un físico se le ponen los pelos de punta ante tales engendros.

10^510^410^3

¿Cómo lo hace el físico entonces? Usando uno de los grandes inventos de la humanidad: la notación exponencial. El 1 seguido de 21 ceros que poníamos arriba como diámetro de la galaxia es simplemente 1021, porque es lo que sale al multiplicar 10 por sí mismo 21 veces. Así se puede poner cualquier número grande. Por ejemplo, el diámetro de la Tierra en metros: 12.700.000 = 1,27·10.000.000 = 1,27·107. Y también cualquier número pequeño. Por ejemplo, 0,01 es 1/100 = 1/102 = 10-2. De modo que los 8 cm de diámetro de una naranja son en metros 0,08 = 8·0,01 = 8·10-2.

A la notación exponencial se la llama también notación científica (y en informática, representación en punto flotante). Consiste, como hemos visto, en que los números se escriben en la forma

m·10b

Al número m se le denomina mantisa y al exponente b orden de magnitud. Esto tiene dos ventajas inmediatas: podemos escribir de manera uniforme y cómoda cualquier número, por grande o pequeño que sea. Y además, en cualquier cantidad distinguimos de inmediato lo importante (el orden de magnitud) de lo accesorio (la mantisa): si dos números tienen igual orden de magnitud, son más o menos iguales.

Ahora ya podemos empezar a hablar como un físico: el orden de magnitud para una célula es de 10-5 m, para la fruta de 10-2 m; para los planetas de 107m; para las galaxias, de 1021 m. Para hacer comparaciones basta restar los exponentes: una galaxia es 14 órdenes de magnitud mayor que un planeta (21-7 = 14), pero un planeta es solamente 9 órdenes de magnitud mayor que una fruta (7-(-2)=9) y una fruta nada más 3 órdenes de magnitud mayor que una célula (-2-(-5)=3). Esta apreciación de las proporciones es sencillamente imposible cuando nos hablan de miles de trillones o de millonésimas. La notación exponencial cura de golpe el mareo que producen esos números. Nos empezamos a situar en lo que antes era un vértigo confuso.

10^210^110^0

Pero nos falta todavía lo mejor de la notación exponencial: que los cálculos se convierten en casi triviales, gracias a una propiedad maravillosa: para multiplicar, basta sumar los exponentes y para dividir basta restarlos. Las mantisas, eso sí, siguen multiplicándose y dividiéndose. Pero, si sólo nos interesa el orden de magnitud, basta con tener una idea burda de la mantisa, y podemos hacer a ojo esas multiplicaciones y divisiones.

Igual que usar números arábigos en vez de romanos simplifica enormente la aritmética (¿¿de verdad podían multiplicar los romanos??), usar la notación exponencial permite resolver en un par de minutos, y a veces de memoria, problemas que de otro modo requieren armarse de paciencia o de calculadora.

Por poner un ejemplo: ¿cuánto gasta al año una bombilla? (sabiendo que en el recibo de la luz dice que un KWh cuesta 0.093303 €). O, ya puestos, una vez más ¿cuantas toneladas de chicle hay en las calles de Madrid? ;-)

10^-110^-210^-3

(…en el próximo post lo hacemos)

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9 respuestas a Órdenes de magnitud (I): Billones no, gracias

  1. Frenzo dijo:

    Queríamos tanto a Sagan y no sabía que existía un número llamado Sagan. Me enteré por el enlace a wikipedia que un Sagan es un número que es billones y billones, y por lo tanto mayor o igual a cuatro billones (porque “dos billones y dos billones” es el menor número que cumple con la condición de ser “billones y billones”).

  2. pseudopodo dijo:

    Tiene gracia lo del Sagan. Pero precisamente saca a relucir un problema más de los billones: nunca se sabe si son billones grandes (10^12) o pequeños (10^9), lo que los hace inútiles como unidad…

    Por cierto, he encontrado en el artículo sobre el Sagan un enlace a otro muy útil en el que explican qué países usan uno y otro tipo de billón. O más bien, qué billón usarían si no fuera por los periodistas…

  3. JuanPablo dijo:

    Si nos guiamos por la fecha de esta página, el tiranosaurio Sue tiene ahora 67.000.001 años, ¿no? :-)

  4. Iñaki dijo:

    Gran explicación, enhorabuena.

  5. Athini dijo:

    El irse haciendo “mayor” tiene la pequeña ventaja de que se pueden volver a contar como nuevos los chistes que veinte años atrás ya todo el mundo sabía.

    –¡Capitán, capitán, vienen los indios!
    – ¿Cuántos son?
    – 1003.
    – ¿Cómo lo sabe con tanta precisión?
    – Porque delante vienen tres y detrás unos mil.

  6. pseudopodo dijo:

    :-) Pues mis alumnos hacen las cuentas del indio y del tiranosaurio como vosotros… Por cierto, Iñaki, espero que te guste la conclusión (y II).

  7. NO LE ENTIENDO AYUDENME SIIIIIIIIII TENGAN COMPASIO COMO dios SE LAS TUBO A UATEDES

  8. miguel dijo:

    ola buenas soy un niño de 13 años y me gustaria saber cual es la magnitud de el radi de la via lactea y segun mis calculos es 10-21 si no me equivoco?

  9. Isenez dijo:

    Miguel, según el artículo de Wikipedia dedicado a la Vía Láctea, su diámetro tiene una longitud aproximada de 100000 (cien mil) años luz lo que corresponde a unos 9,5 x 10^17 kilómetros. De ahí ya puedes deducir la magnitud del radio. ;)

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