Órdenes de magnitud (y II): El chicle de Fermi

En el post anterior explicábamos qué se entiende en física por orden de magnitud. Acostumbrarse a estimar el orden de magnitud de los fenómenos con los que nos encontramos nos ayuda a entender mejor el mundo. Y resulta bastante sencillo: basta con usar la notación exponencial y el sentido común.

1. El problema de la bombilla

Por ejemplo, nos planteábamos cuanto gasta al año una bombilla, sabiendo que el Kilowatio-hora (KWh) cuesta 0.093303 €. Lo primero que hay que hacer es prescindir de esos ridículos decimales y dejarlo en 0.1 €, es decir, en notación exponencial, 10-1 €/KWh. Vamos a poner que la bombilla es de 100 W (o sea, 0.1 KW = 10-1 KW) y que está encendida 2 horas al día 300 días (=3·102) al año. (¿Por qué 100 W y no 60? ¿Por qué 300 días y no 365? Por sentido común: no estamos buscando un resultado exacto, así que es de tontos poner números difíciles).

En resumen, el gasto será:

(potencia de la bombilla)·(horas encendida)·(precio del KWh)

es decir: (10-1 KW)·(2·3·102 horas)·(10-1 €/KWh). Los exponentes suman 0, y 100 = 1, de modo que el gasto anual es de 6 €. Sorprendentemente barato, lo que significa por ejemplo que las bombillas de bajo consumo nunca van a suponer un ahorro significativo: aunque consumen muy poco (del orden del 25% que las ordinarias), aquí sólo ahorraríamos 4.50 € al año.

Es una conclusión interesante, sobre todo porque la podemos sacar por nosotros mismos en cinco minutos (tres de ellos para encontrar en el recibo de la luz el precio del KWh). Esto es lo que se llama alfabetismo numérico. Y en vista de que nos están vendiendo (o regalando) las bombillas de bajo consumo como la solución a la crisis, yo diría que tiene incluso un valor democrático.

2. El problema de los chicles

Pero esto es sólo un aperitivo, porque estamos aquí para contestar la gran pregunta sobre la vida secreta de los chicles: ¿cuantas toneladas hay en las calles de Madrid? Este tipo de problemas en los que se pide algo aparentemente imposible de calcular y no se da ningún dato son un clásico entre los físicos. Se llaman problemas de Fermi porque el genial físico italiano era un maestro absoluto del género, y muchos de los problemas que planteaba a sus alumnos son memorables. El más célebre: “¿Cuantos afinadores de pianos hay en Chicago? Datos: ninguno.” (La solución es 125, más o menos).

Los problemas de Fermi se resuelven con los dos ingredientes que decía más arriba: sentido común y notación exponencial. Y a veces, claro, con algo de ingenio para dar con el enfoque adecuado o para estimar algún dato desconocido.

En nuestro caso, un dato poco obvio es del del número de chicles por metro cuadrado. Mis observaciones me llevan a decir que está entre 4 y 20, pero vamos a poner que son 10, que es más fácil. Y vamos a “redondear” igualmente a la potencia de 10 más cercana todos los datos, lo que además de ser muy cómodo tiene la ventaja de evitar ambiguedades y discusiones bizantinas. Por ejemplo: ¿cual es la anchura típica de una acera? Como 10 -1 m (10 cm) es poco y 101 m es mucho, se sigue que una acera mide 100 m (=1 m). ¿Qué tamaño le damos a Madrid? Un cuadrado de 1 km (103 m) sería poco, pero uno de 100 km (105 m) sería mucho, así que obviamente Madrid mide 10 km (104 m) de lado.

¿Cuántas calles hay? Supongamos una malla de calles en direcciones NS y EW, separadas 102 m (porque 103 m es mucho y 101 m es poco). El número de calles NS es el lado del cuadrado dividido por la distancia entre calles, es decir, 104/102 = 102 calles. Hay otras tantas en dirección EW y cada calle tiene dos aceras, así que los metros lineales de acera son 2·2·102·104 , y por tanto (con 1 m de anchura, recuerden) 4·106 m2 de aceras. A 10 chicles por m2 son 4·107 chicles y a 1 g por chicle (a estas alturas no hace falta explicar que un chicle sólo puede pesar un gramo) son 4·107 gramos, es decir, 4·104 Kg, es decir, 40 toneladas.

3. Otro argumento

Hace unos días, en Enchufa2 enlazaron mi post sobre la vida secreta de los chicles, y dos comentaristas aceptaron el reto de hacer el cálculo. Uno, con un argumento más detallado y números más exactos que yo, llegó esencialmente al mismo resultado (“entre 20 y 60 Tm de chicles”). Otro partió de un dato que yo no daba: la cantidad de chicles consumidos.

Me pareció interesante y busqué por mi cuenta el dato, para confirmarlo. He encontrado, en un informe de la Asociación Española de Fabricantes de Caramelos y Chicles [pdf], que en 2006 se comercializaron en España 107877 toneladas de chicles y caramelos, de los que un 40 % eran chicles. Vamos a poner entonces 40000 toneladas (= 4·107 kg). Suponiendo que el 10% se consuma en Madrid (razonable) y que un 1% acabe pegado en la acera (¿razonable?), tenemos 4·104 kg, es decir, 40 toneladas al año. Si un chicle dura un año pegado, ¡el resultado coincide con el cálculo anterior!

La coincidencia es casual (juro que no lo he amañado) pero lo que importa es que el orden de magnitud es el mismo, y esto nos enseña algo importante: a veces, podemos estimar una misma cantidad por procedimientos diferentes. Si el resultado es similar, eso proporciona un indicio muy convincente de que es correcto. Este es un principio básico de la ciencia, y una de las razones que le da su solidez: virtualmente todos los resultados pueden derivarse por varios procedimientos alternativos. Aunque muchos de esos procedimientos no sean muy seguros, la coincidencia de derivaciones independientes aumenta espectacularmente nuestra confianza en la corrección del resultado.

4. En conclusión

La notación exponencial es una herramienta para pensar con claridad, dije al principio del post anterior. Se puede explicar en una entrada de un blog, y basan unas horas de práctica para manejarla con soltura (inversión mínima en comparación con las horas que se dedican a la aritmética). Sin embargo, casi todo el mundo la ignora. ¿Es una utopía proponer que se enseñe?¿Sería mucho pedir que todo el mundo al acabar la ESO la dominara? ¿Cómo serían los periódicos en ese mundo alfabetizado?

5. Y de propina…

Un magnífico artículo de Von Baeyer (en inglés) sobre cómo enfocaba Fermi los problemas. Así acaba:

Ultimately, the value of dealing with the problems of science, or those of everyday life, in the way Fermi did lies in the rewards one gains for making independent discoveries and inventions. It doesn’t matter whether the discovery is as momentous as the determination of the yield of an atom bomb or as insignificant as an estimate of the number of piano tuners in a Midwestern city. Looking up the answer, or letting someone else find it, actually impoverishes one: it robs one of the pleasure and pride that accompany creativity and deprives one of an experience that, more than anything else in life, bolsters self-confidence. Self-confidence, in turn, is the essential prerequisite for solving Fermi problems. Thus, approaching personal dilemmas as Fermi problems can become, by a kind of chain reaction, a habit that enriches life.

Y una muy poco conocida razón por la que las soluciones de Fermi suelen ser sorprendentemente buenas: la paradoja de Stein.

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20 respuestas a Órdenes de magnitud (y II): El chicle de Fermi

  1. kikollan dijo:

    Muy buen artículo, me ha encantado.

  2. Iñaki dijo:

    Suscribo a kikollan, gran post.

    ¿Curioso que coincidan, verdad? ¡Qué lectores tan listos tengo!

  3. serenus dijo:

    Pues yo me quedo con las ganas de que nos expliques lo de los 125 afinadores de piano..

    Pero en mi pueblo -con unos veinte mil habitantes- calculo que no hay ninguno.. -más de dos imposible.

  4. Folks dijo:

    Genial.

    El razonamiento que ha hecho para estimar las cantidades me ha resultado curioso, no solo se ha quedado en eso, si no que es eficaz.

    En cuanto a los afinadores de pianos…
    Solo se me ocurre estimar el número de pianistas o estudiantes de piano para la población dada.
    Supongo que Chicago ciudad tendrá tantos habitantes como Barcelona, PERO que la demanda potencial de afinadores de pianos también se puede extender a las zonas del area urbana más cercanas a la ciudad. Con un area metropolitana de unos 10^7 hab, suponiendo que estén lo suficientemente cerca de la urbe unos 6*10^6 y que tienen piano en casa un 5*10^-3 personas (y lo usen lo suficiente como para desafinarlo) —-La suposición la he hecho en base a: En mi vida académica FUERA del conservatorio, en torno a un 1% de personas que he conocido tocaban el piano. De ellos, dejarán los estudios del mismo prácticamente un 90%, con la salvedad de que durante su época música habrán necesitado alguna vez de los servicios de un profesional de la afinación. Algunos de ellos solo habrán usado teclados, con lo que reduzco a la mitad. Además, (al menos en España), llegados a un nivel es necesario estudiar piano para los estudiantes de otros instrumentos. Muchos se comprarán un teclado, pero otros optarán por el piano de “toda la vida”, manteniendo más o menos estable la necesidad de afinadores y la proporción de pianos/hogar (por la anulación de Abandonos-Incorporaciones). ——————–
    Además, podemos suponer que hay un conservatorio por cada 2*10^5 hab. (Valencia tiene 4 para ~8*10^5 habitantes) Desconozco si Mislata o Paterna tendrán conservatorios, pero voy a suponer que si.

    Entonces tenemos: 6*10^6 habitantes, 5*10^-3 pianos por hogar = 3*10^4 pianos. Suponemos también que Chicago tiene 30 escuelas de música con afinador propio.
    Dado que un piano se desafina, digamos, 1 ó 2 veces al año -1,5 pues-; que un afinador pueda tener 2 servicios al día y el año tiene 365 días: 730 pianos por afinador. Por tanto unos 62 afinadores privados, y unos 30 afinadores en escuela (consideramos residual el que también le afinen a los alumnos).
    Me salen 92.
    Teniendo en cuenta que en la época NO había pianos eléctricos, ¿aceptamos pulpo como animal de compañía?

    De todas formas, me parecen demasiados.
    Luthiers decentes, en Valencia apenas hay unos 5-6. Aunque los violines chinos de usar y tirar les han quitado el mercado de los novicios.

  5. pseudopodo dijo:

    Gracias, Kikollan & Iñaki.… Que coincidan las estimaciones es parte de la gracia de los problemas de Fermi: uno no tiene ni idea a priori de que va a salir, pero se pone, y siguiendo rutas distintas llega a lo mismo. Que es lo que pasa con tu estimación, Folks: el orden de magnitud de 92 es el mismo que el de 125. Además, el método que has seguido es más o menos el que cuentan en la Wikipedia, aunque has supuesto números bastante distintos (y una vez más, aún así da muy parecido…)

    Serenus, parece que sale un afinador por cada 50000 habitantes…y además, si tu pueblo está cerca de una ciudad grande, no habrá nada más que bares.

  6. serenus dijo:

    ¿Eso también se deduce por el método Fermi? ;)

    A ver si tengo unas horillas para practicar la notación exponencial..

  7. .Marfil. dijo:

    Muy buenos post; siempre había leído lo “guay” que era el método de Fermi, pero es el primer artículo de la blogocosa en donde se expone con más claridad por qué funciona.

    Sólo como sugerencia; podrías hacer una III parte exponiendo la paradoja de Stein, que al menos a mi me parece la joya de este artículo y que aunque ya tengo clara, dejaría a la serie completa como referencia. ;)

  8. pseudopodo dijo:

    Ánimo, Serenus, que estarán bien empleadas. Si quieres practicar, te doy alguna referencia: uno propuesto por Adrián Paenza y lo que decía CPI (los comentarios tienen alguna cosa interesante). Ah, y si se te da bien esto, a lo mejor te contratan en Google…

    Gracias, .Marfil. No me importaría escribir sobre la paradoja de Stein, más que nada porque eso me ayudaría a entenderla… ;-) Voy a ver si leo algo más, pero de momento tengo demasiadas cosas en el horno…

  9. Julio dijo:

    Pues yo creo que 6 € al año no es tan “sorprendentemente barato” como dices tú. De hecho es muy caro. Usa tu alfabetismo numérico para multiplicar esos 6 € por el número de bombillas de una ciudad.
    Pero aun me llama más la atención que un ahorro de 4.5 € sobre 6 € te parezca poca cosa y las bombillas de bajo consumo como algo sólo con valor democrático.

    Tus cálculo muy bien. Pero un cero en el problema.

  10. pseudopodo dijo:

    Julio, no tiene sentido multiplicar por el número de habitantes de la ciudad: si son más habitantes, son más a pagar. Lo único que tiene sentido es el coste per cápita, y a mi 6 euros al año me parece muy barato. Más teniendo en cuenta que una bombilla de bajo consumo puede costar siete u ocho veces más que una ordinaria, y contiene mercurio que es altamente tóxico (no se suele hablar de esto).

    En un hogar, lo que realmente consume energía es cocinar y calentar el agua. Y si quieres entretenerte en un pequeño cálculo de orden de magnitud, aquí tienes:
    * Por la ducha salen unos 10 litros por minuto.
    * Suponemos que el agua estaba a 15ºC y la calentamos hasta 45º.
    * Subir 1ºC la T de 1 litro de agua requiere 1000 calorías, y 1 caloría son 4.18 Julios (llamados así en honor de James Joule, no de tí ;-) )
    * 1 KWh son 3.6·10^6 Julios
    * 1 KWh cuesta 0.1 €
    Con todos estos datos, no te costará llegar a la conclusión de que una ducha de 10 minutos te cuesta 0.35 €. Al año, si te duchas todos los días, son unos 130 €. Eso ya sí es dinero: si tienes un calentador eléctrico, cada minuto que acortes tu ducha te ahorras 13 € al año sólo en electricidad: el doble de lo que gastaba la bombilla.

    ¿Por qué el Ministerio de Industria no dice que nos duchemos menos en vez de regalarnos bombillas? Saquen ustedes sus conclusiones.

  11. Frenzo dijo:

    Otros problemas con las lamparitas de bajo consumo es que son feas estéticamente, dan una luz demasiado azul y tardan en alcanzar un regimen de potencia estable. En comparación con las incandescentes, son feas, tristes y lentas.

  12. pseudopodo dijo:

    De una bombilla de bajo consumo se podría decir lo que dice la jota de la novia que “todas las efes tenía: fea, fofa, flaca y fría” :-)

    (pero que conste que yo tengo alguna en casa).

  13. Respecto a las bombillas:

    Otro tema sería las ganas que tiene el Ministerio de regalar bombillas al mismo tiempo que apoya que la UE imponga aranceles a la importación de bombillas chinas, más baratas. Nos las quieren regalar, pero no quieren que las compremos baratas.

    Respecto a la paradoja de Stein:

    Hay veo un argumento en defensa del liberalismo. (Cada cual, barriendo para su casa). Los particulares, con información múltiple y de baja calidad, son capaces de tomar mejores decisiones que los políticos, que manejan pocas variables pero muy fiables. Le daré vueltas…

  14. Javier dijo:

    Acerca de la notación exponencial, yo creo que no es tanto una desconocida (todo el mundo que tenga calculadora se la encuentra sin querer) como una incomprendida. Tiene mucho que ver con el hecho de que los matemáticos no la emplean demasiado. [Los "aplicados" sí lo hacemos, pero somos menos en España y no estamos tanto en la enseñanza.]

    La notación exponencial deja muy al descubierto el problema de la precisión (tú estabas más bien en la magnitud), que debería preocupar mucho más a los científicos en formación de lo que lo hace: si partes de números con dos cifras de precisión para tus cálculos no puedes devolver siete solo porque tu calculadora las dé. A mis alumnos de numérico en IQ los martirizaba con esto. Eso sí, la coma flotante tiene sus cosas: hay sumas absorbentes (10^1+10^17=10^17), hay sumas no asociativas (la regla de oro de las series numéricas: sumar siempre de pequeño a grande), etc. Es un tema fascinante que ayuda mucho a comprender cómo son los números “reales” frente a los “números reales” (¿”me se” entiende?).

    Con lo de los números romanos en tu post anterior, me he quedado con la duda siguiente: ¿cómo multiplicaban los griegos? (A fin de cuentas, el algoritmo de Euclides, es de Euclides, ¿no?). O mejor: ¿cómo escribían los números? Entiendo que, dada la dificultad de la aritmética hasta la adopción del sistema arábigo de numeración, la gente educada sabría multiplicar números pequeños (nosotros multiplicamos 6*7=42 sin hacer la operación; sabemos el resultado) y multiplicar, multiplicar, quedaría para los expertos, que conocerían otra forma de escribir los números más adecuada. ¿La de los griegos?

    Para finalizar: (a) Estoy con pseudópodo en lo de las bombillas. Nuestros ministros son demasiado aficionados a las ideas de bombero porque están acostumbrados a que no les pasen factura. (b) Folks, si los números de afinadores no encajan del todo en un sitio como Barcelona o Valencia (a lo mejor sale el número dividido por diez: no 160 sino 16), es porque posiblemente haya que retocar la magnitud del número de pianos por hogar. Somos un país tradicionalmente amusical. Por ejemplo, durante décadas no ha habido una fábrica de pianos en España (no sé si esto ha cambiado, pero con la competencia china, supongo que no).

  15. pseudopodo dijo:

    Al escribir el post en lo que pensaba era en que se explicara la notación exponencial en física, pero la verdad es que lo lógico es que se estudiara en las matemáticas de la enseñanza primaria o de la ESO, y a lo mejor sí influye que los matemáticos “puros” no la empleen. Daría mucho que hablar el daño que hacen la mentalidad purista de muchos matemáticos a la enseñanza…

    Sobre la precisión, es algo que invariablemente te encuentras en las clases de laboratorio y en los problemas: la calculadora vomita decimales y el alumno piensa que cuantos más decimales pone, mejor está el resultado, cuando generalmente es justo al contrario… Pero son cosas que normalmente nadie te enseña y no aprendes hasta que no te pegas con ellas (yo tenía muy claro lo de las sumas absorbentes, pero acabo de aprender que las series se suman de pequeño a grande ;-) )

    Sobre cómo escribían los números los griegos he encontrado esto; lo que no dicen es cómo multiplicaban. Yo pensaba que lo harían con algún tipo de ábaco primitivo, pero no lo sé…

  16. MOEBIUS dijo:

    Sencillamente delicioso….gracias Pseudopodo porque no tenía la mas remota idea de la existencia de tales problemas y su solución….eso es lo que se necesita en ingeniería…ingenio!!!!!

  17. Irais dijo:

    Me encantó la forma en que realizas el análisis de órdenes de magnitud, y explicas problemas que después de resolverlos paracen muy sencillos. Definitivamente concuerdo contigo y por mi parte hago lo posible por transmitir esto desde el nivel medio superior (pre-universitario) para fomentar el sentido común y el análisis. Felicidades por el post.

  18. Mauricio dijo:

    En el sistema internacional de unidades, la abreviatura de “kilo” es “k”. Por tanto, kWh.

  19. Moebius dijo:

    repensando lo de la bombilla…creo que a nivel individual(percápita) es pequeño el ahorro que mencionas….sin embargo para un país entero…¿lo es?

  20. francisco dijo:

    muy buen articulo

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