Cuadrados mágicos para adivinar el pensamiento

Hace cosa de dos meses vi a un mago hacer un truco de adivinación del pensamiento. El mago elegía a alguien del público y le pedía que pensara un color. Tras unos segundos de concentración, le “llegaba” el pensamiento, lo anotaba en una pizarra y le pedía al espectador que lo dijera en voz alta (“naranja”). A continuación, se repetía el proceso, con un animal (que resultó ser “murciélago”) y con un número (fue “34”). Finalmente, el mago daba la vuelta a la pizarra, que tenía tres casillas: en la primera ponía naranja, en la segunda murciélago, y en la tercera, 34. Grandes aplausos.

No soy de esos listos que se sienten en la obligación de destripar el truco. Normalmente me limito a sentarme y a disfrutar; además, no suelo tener la menor idea de cómo lo hacen. Pero en este caso, la manera de elegir el número me puso en guardia. En vez de pedirle a alguien que lo pensara, se hacía una cosa mucho más elaborada. El mago invitaba a un niño a subir al escenario, y le ponía ante un cuadrado formado por 16 números. Con un rotulador, el niño tachaba la fila y la columna que quisiera, y marcaba el número en que se cruzaban. Marcaba otra fila y otra columna, y así hasta cuatro veces. Sumaba los cuatro números marcados y ese era el número elegido, el que el mago había adivinado (y escrito en la pizarra) previamente.

Naturalmente, pensé de inmediato en un cuadrado mágico (¿qué puede ser más apropiado para un mago?).

Para explicar qué es un cuadrado mágico, empezamos colocando los 16 números en orden:

Por supuesto cada hilera, sea horizontal (fila) o vertical (columna), suma un número distinto. Pero podemos desordenarlos hábilmente para que todos los resultados sean iguales. Entonces tenemos un cuadrado mágico. Probablemente el más célebre es el que aparece en Melancolía, el grabado de Durero:

La red de Hempel

[viene de aquí]

La crítica más contundente de la concepción de la ciencia como cartografía de la realidad la hizo Ernst Mach:

Lo que nos representamos como ‘detrás de las apariencias’ existe sólo en nuestro entendimiento y tiene para nosotros sólo el valor de una técnica memorística o una fórmula, cuya forma, al ser arbitraria e irrelevante, varía fácilmente según el punto de vista de nuestra cultura.

Mach enmendó la plana al propio Newton: para él, el tiempo absoluto y el espacio absoluto newtonianos pertenecían a la despreciable especie de las “hypotheses”. Y tenía razón, como demostró Einstein (que reconoció su deuda con Mach diciendo que le hizo quebrar su fe dogmática en la mecánica newtoniana).

Si no es sostenible la imagen ingenua de la ciencia como cartografía, ¿qué relación tienen sus teorías con la realidad?¿Nos dicen algo sobre cómo es el mundo? Para Mach, no:

La ciencia puede considerarse un problema de mínimos, que consiste en presentar del modo más completo los hechos con el menor gasto posible de pensamiento.

Que la ciencia sea poco más que un truco mnemotécnico es difícil de aceptar. Aunque no sea un mapa fiel de la realidad, pensamos que debería tener al menos una correspondencia, algún tipo de isomorfismo. Pierre Duhem articuló esta idea, moderando las radicales tesis de Mach en una descripción de la estructura de las teorías científicas que ha sido muy influyente.

Para Duhem, una teoría científica tiene dos elementos: un sistema axiomático y unas reglas de correspondencia, que ponen en relación al primero con el mundo real. Las leyes abarcadas por la teoría son deducibles como proposiciones del sistema axiomático, y se traducen a magnitudes medibles mediante las reglas de correspondencia (aunque no tiene por qué haber correspondencia experimental para todo). El sistema axiomático sería el contenido sintáctico de la teoría; las reglas de correspondencia son el diccionario que proporciona el contenido semántico. Existe también lo que yo llamo un contenido imaginativo, un modelo, que a menudo es muy importante para el científico, pero que no forma parte de la estructura lógica de la teoría, porque no juega ningún papel en la deducción formal de resultados ni en su verificación experimental: son las hypotheses de Newton.

Hypotheses non fingo

La ciencia no es una acumulación informe de conocimientos, sino que tiene una estructura. Están, para empezar, las leyes, que son la expresión de regularidades encontradas en la observación cuidadosa o en la experimentación. Pero un montón inconexo de leyes, por muy grande que sea, todavía no es ciencia (es, a lo sumo, historia natural). Hace falta una teoría que las estructure y dé cuenta de ellas. Por ejemplo, antes de Newton se conocían las tres leyes de Kepler, las leyes del péndulo y los planos inclinados encontradas por Galileo, etc. Pero sólo con los Principia tuvimos una ciencia madura de la mecánica y la gravitación. La teoría de Newton ponía en relación todos los resultados conocidos previamente y hasta entonces inconexos: todos podían deducirse de unos principios sencillos. Ahora nos explicábamos por qué las órbitas de los planetas tenían que ser elipses o por qué la velocidad de caída libre de todos los cuerpos es la misma.

El éxito de Newton fue tan completo que casi nadie albergó dudas sobre la realidad de su teoría: si explicaba las leyes con esa eficacia sólo podía ser porque estaba describiendo la realidad subyacente a los hechos: la teoría de Newton era la verdad sobre el mundo.

Un éxito comparable tuvo Maxwell con las leyes de la electricidad y el magnetismo. Y, aunque no tan contundente, también lo tuvo la larga serie de químicos y físicos que contribuyeron a la teoría atómica. A finales del S. XIX, era un lugar común que, igual que los exploradores estaban acabando la cartografía de la Tierra, los científicos estaban completando el mapa de la realidad.

Se ha contado muchas veces la humillación de aquellos pretenciosos barbudos victorianos. En 1894, Albert Michelson afirmaba en un discurso que

La mayor parte de los grandes principios que sustentan la física están ya firmemente establecidos… un físico eminente ha observado que las verdades futuras de la ciencia física habrá que buscarlas en la sexta cifra decimal.

Sobre los conflictos entre teorías y entre religiones

Las teorías científicas tienen dos dimensiones: una imaginativa y otra operativa. Por ejemplo: en la dimensión imaginativa, la gravitación de Newton es una visión del mundo como un espacio euclídeo vacío, poblado de partículas que se ejercen fuerzas a distancia. Pero desde un punto de vista pragmático (es decir, en la dimensión operativa) la gravitación de Newton es un procedimiento para calcular las trayectorias de los planetas, el movimiento de los engranajes o el resultado de los choques.

Sólo esta dimensión operativa está sujeta a verificación (o mejor, dicho, a falsación). Sin embargo, podría haber otras teorías, totalmente diferentes en la dimensión imaginativa, que dieran predicciones indistinguibles. En estas condiciones, el científico opta por la teoría que le resulta preferible por criterios de simplicidad o belleza, o por simple conservadurismo (¿por qué adoptar una teoría que no aporta nada nuevo en la práctica?)

Esta cuestión es pasada por alto invariablemente en las exposiciones populares de la ciencia. Un divulgador del siglo XIX, por ejemplo, presentaría la teoría newtoniana como la verdad sobre el mundo, y lo que contaría a sus lectores es la dimensión imaginativa: un espacio euclídeo vacío, etc. No sabría que los mismos resultados operativos se obtienen con una teoría que concibe el mundo como algo totalmente opuesto: un espacio curvado cuatridimensional, no vacío sino lleno de un campo de densidad de energía. Y de haber conocido tal teoría, la habría descartado por su ridícula complicación.

Pero en 1916, Einstein propuso justamente una teoría como esa: la Relatividad General. Y se las arregló para encontrar algunas diferencias en el plano operativo: unas minúsculas discrepancias entre sus predicciones y las de Newton. Las predicciones de Einstein se confirmaron, y los divulgadores de hoy presentan el esquema imaginativo de Einstein como la verdad sobre el mundo. Pero, una vez más, habrá seguramente muchas teorías alternativas, opuestas en lo imaginativo pero coincidentes en lo operativo, al menos dentro de la capacidad de los experimentos actuales (un ejemplo son las supercuerdas).

¿Cómo es el mundo realmente? No lo sabemos. Sabemos que no puede ser como dijo Newton porque sus predicciones, aunque increíblemente buenas, fallan en algunos casos. Pero no tiene por qué ser como dijo Einstein, porque hay muchas otras teorías alternativas no falsadas, como las supercuerdas. Ahora bien, sería ridículo esgrimir esta discrepancia entre teorías para demostrar que, ya que son tan distintas, son incompatibles, necesariamente falsas, y tomaduras de pelo. Al contrario, las dos son aproximaciones, excepcionalmente meritorias, a una realidad que seguramente no conoceremos nunca.

Creo que esto puede arrojar cierta luz sobre una cuestión en apariencia muy alejada: el conflicto entre religiones. A menudo se utiliza como un argumento contra la religión el que existan muchas religiones con concepciones totalmente diferentes: no pueden ser verdad todas a la vez, y por lo tanto, seguramente serán todas falsas (Dawkins hace constantemente este razonamiento). Y sin embargo, cristianismo e hinduismo, por poner dos religiones bien diferentes, no son seguramente más opuestas que la gravitación de Newton y la Relatividad General de Einstein en su dimensión imaginativa.

De modo que la discrepancia entre religiones suele magnificarse porque en este ámbito de discusión solemos ver sólo la dimensión imaginativa. Pero teorías científicas imaginativamente incompatibles confluyen en gran medida en la dimensión operativa. ¿Hay algo análogo para las religiones a esa dimensión operativa? Parece que sí: la dimensión moral. Igual que, pragmáticamente, la ciencia es un protocolo para hacer predicciones cuantitativas, la religión es, pragmáticamente, una prescripción para obrar bien y dar sentido a la vida. Y en vez de validarse por la exactitud de las predicciones, se valida por la bondad de la vida que promulga. Visto así, la discrepancia entre las distintas religiones, ¿no es igual de poco preocupante que la discrepancia entre las teorías de Newton y Einstein?

La gran conversación

Lo mejor de tener un blog es que lo que eran soliloquios pasan a ser consersaciones. Lo que habías rumiado en solitario y parecía que no interesaba a nadie (nadie hablaba de ello en el bar o en las tertulias de la radio) lo escribes en un post. Y vienen cien personas y lo leen, y cinco de ellas lo comentan y conversas con ellas. Tú, que te aprendiste el verso de Poe (and all I loved, I loved alone), descubres que hay alguien ahí fuera. Alguien que también ama a Chesterton o a Natalia Ginzburg, o que cada sábado lee a Andrés Ibáñez, o que -sorpresa- también le ha visto el plumero a Sagan o las pezuñas a Dawkins.

Estar sólo con tus propias ideas, con tus filias y tus fobias, no sólo lleva a la melancolía, sino también a la esterilidad (no hace falta insistir en esto: en España sabemos mucho de endogamia). Así que la virtud del blog no es sólo emotiva, sino también cognitiva. He aprendido mucho de los comentarios, que a veces me han enseñado cosas totalmente nuevas para mí (por citar sólo tres: este de Asturchale sobre el peak oil, este de Topo Universitario sobre el error fundamental de atribución, este de Luis sobre los escépticos del escepticismo).

Pero además de traerme a veces grano nuevo, los comentarios me han ayudado siempre a moler mejor el viejo. Visto con una perspectiva más amplia, todo este moler y remoler, toda esta fertilización cruzada de ideas, toda esta conversación, es el proceso en el que se crea la cultura.

La cultura viva no está hoy en las páginas de cultura de los periódicos. No encontraréis allí mas que centenarios de escritores, espectáculos subvencionados, publicidad encubierta… cosas muertas. La cultura viva está aquí, en cientos de blogs como este, en los que actualizamos la gran conversación, la que, en palabras de Robert Hutchins, “comenzó en los albores de la historia y continúa hasta el día de hoy”: el intercambio de ideas ininterrumpido que nos enlaza con Aristóteles y Platón.

También en 2008

Los einsteins de casi todo

¿Se han dado cuenta de que “einstein” se ha convertido en un nombre común? Ser “el einstein de XXXX” viene a significar “ser el número uno de XXXX” (lo que no deja de ser paradójico, pues, como es bien sabido, Einstein es el número dos de la física)…

Se me ha ocurrido que Google puede convertir este uso en una manera objetiva de medir el prestigio y me he entretenido un rato buscando “the Einstein of XXXX” para unas cuantas disciplinas. Ahí van los einsteins, algunos bastante curiosos… (ordenados de más a menos resultados):

Medicine [16]: Hans Selye (14), Samuel Hahnemann (1), Vladimir Dilman (1)

Economics [10]: J.M. Keynes (2), C. H. Douglas (2), R.H. Coase (1), K. Arrow (1), R. Mundell (1), M. Friedman (1), P. Samuelson (1), J. F. Nash (1)

Psychology [8]: Ken Wilber (3), C.G. Jung (1), J. Piaget (1), L. Vygotsky (1), T. Leary (1), Albert Ellis (1)

Maths [7]: Alexandre Grothendieck (7)

Biology [7]: James Watson (4), Robert Gallo (1), C. Darwin (1), E. Haeckel (1)

Philosophy [4]: Gotthard Günther(3), Jacques Derrida (1)

Genetics [2]: Jerome Lejeune (1), L-L. Cavalli-Sforza (1)

Chemistry [2]: Linus Pauling (2)

Geology [1]: James Hutton (1)

Architecture [1]: Frank Lloyd Wright (1)

Computer Science [1]: Alan Turing (1)

y finalmente…, Physics [0]: ¡Ni siquiera Einstein es el Einstein de la física!

***

Nota: agradezco colaboraciones para encontrar los Einsteins de otras disciplinas: de momento he encontrado a Homer Simpson como Einstein de la TV, a David Beckham como Einstein del fútbol…

El shock del pasado

The past is a foreign country: they do things differently there
Leslie Poles Hartley, “The Go-Between“

El otro día, no recuerdo cómo, me encontré con la historia del rey David y Betsabé:

Una tarde, al levantarse David de la cama, comenzó a pasearse por la azotea del palacio, y desde allí vio a una mujer que se estaba bañando. La mujer era sumamente hermosa, por lo que David mandó que averiguaran quién era, y le informaron: «Se trata de Betsabé, que es hija de Elián y esposa de Urías el hitita.» Entonces David ordenó que la llevaran a su presencia, y cuando Betsabé llegó, él se acostó con ella.

Betsabé se quedó embarazada y esto es lo que hizo David:

David le escribió una carta a Joab, y se la envió por medio de Urías. La carta decía: «Pongan a Urías al frente de la batalla, donde la lucha sea más dura. Luego déjenlo solo, para que lo hieran y lo maten.» Por tanto, cuando Joab ya había sitiado la ciudad, puso a Urías donde sabía que estaban los defensores más aguerridos. Los de la ciudad salieron para enfrentarse a Joab, y entre los oficiales de David que cayeron en batalla también perdió la vida Urías el hitita.

“Había un problema y lo hemos solucionado”, parece que oimos decir a David.

Caballos y diccionarios

El primer mandamiento de un diccionario es que una definición no puede contener el término definido. Si en la definición de “martillo” apareciera la palabra “martillo”, se produciría una autorreferencia, un cortocircuito fatal.

Ahora abrimos el DRAE y la primera palabra que nos encontramos es:

a. (Del lat. ad). prep. Precede a determinados complementos verbales….

¡Alto!¡En la definición de la preposición “a” aparece la preposición “a”! Mal empezamos…¿Cómo es posible?

La razón de que la palabra definida esté prohibida en su definición es que una definición sirve para saber el significado de la palabra definida, y esto sólo ocurre si conocemos el significado de todas palabras que intervienen. Pero ¿qué significado tiene una preposición? En realidad, no tiene contenido semántico, igual que las conjunciones, artículos o pronombres. Así que nos olvidaremos de estas palabras: el primer mandamiento de un diccionario se lo deberíamos aplicar sólo a sustantivos, verbos, adjetivos y adverbios.

Ahora bien, no es tan fácil escapar de la autorreferencia. Vamos a verlo con un ejemplo. Abro al azar una página del DRAE y me encuentro con:

copete. (Del dim. de copo). 1. m. Pelo que se lleva levantado sobre la frente.

Para saber el significado de “copete” debo pues conocer el significado de “pelo”, “llevar”, “levantar” y “frente”. Pero para saber qué significa “pelo” tengo que conocer una segunda generación de palabras, que aparecen en su definición: nada menos que “filamento”, “cilíndrico”, “sutil”, “naturaleza”, “córnea”, “nacer”… hasta catorce palabras. Y así sucesivamente. En sentido amplio, la definición de “copete” incluye todas esas palabras de generaciones sucesivas.

Es probable que el lector a estas alturas haya olfateado una progresión geométrica. Supongamos por simplicidad que cada definición tiene siete palabras. Para hacer explícito el significado de cada una de ellas, necesitamos otras siete, y así sucesivamente. En la séptima generación ya hemos usado 137257 palabras: más de las que tiene la mayoría de los diccionarios. Obviamente estamos repitiendo palabras. Y eso significa que las palabras definidas aparecen en las definiciones. No en su misma generación, porque lo prohíbe el primer mandamiento, pero sí en generaciones sucesivas: ya avisamos que no es tan fácil escapar de la autorreferencia.

Pero quizá hay alguna posibilidad. Veámoslo de forma gráfica. Si ponemos en papel un punto por cada palabra, y trazamos una flecha de cada punto-palabra a los puntos-palabra que aparecen en su definición, tenemos un esquema enormemente complicado que resume la estructura de la lengua, tal como la recoge ese diccionario (en matemáticas a un esquema así se le llama grafo dirigido). Si queremos evitar la autorreferencia, en ese grafo no debería haber recorridos que se cerraran sobre sí mismos. ¿Es eso posible? Parece que sí. Sólo hace falta que haya un conjunto suficientemente amplio de puntos de los que no salgan flechas. De ese modo, los recorridos que lleguen allí se interrumpen y no pueden cerrarse.

Los puntos de los que no salen flechas son palabras no definidas, algo así como axiomas del idioma. Deberían ser palabras cuyo significado fuera evidente; palabras sencillas como caballo: porque lo que es un caballo, resulta obvio para todo el mundo.

* * *

[Epílogo para matemáticos] El problema puede formalizarse así: para un número dado de enlaces salientes (que podría ser una distribución realista en lugar de un nº fijo), estudiar el nº de recorridos que se cierran sobre sí mismos en el grafo en función del tamaño del subconjunto de puntos axioma. Apuesto a que ese número de recorridos decrece muy rápido al ir aumentando el nº de puntos axioma; quizá hay una transición de fase para un número crítico, y eso nos daría el número mínimo de axiomas necesarios para hacer un buen diccionario. ¿Estará estudiado esto?

Un caballo es un caballo es un caballo

caballo.

(Del lat. caballus, caballo de carga; cf. gr. καβάλλης, galo caballos, búlgaro ant. kobyla).

1. m. Mamífero del orden de los Perisodáctilos, solípedo, de cuello y cola poblados de cerdas largas y abundantes, que se domestica fácilmente.

(según el Diccionario de la Real Academia Española)

 

caballo.

Lo que es un caballo, resulta obvio para todo el mundo.

(según la Nowe Ateny albo Akademia wszelkiej scyencyi pełna, na różne tytuły, jak na classes podzielona, mądrym dla memoryału, idiotom dla nauki, politykom dla praktyki, melancholikom dla rozrywki erygowania)

***

La Nowe Ateny, etc, etc… fue la primera enciclopedia polaca, editada en Lwów en 1745-46 por Benedykt Chmielowski). En polaco, la definición es aún mejor: Koń jaki jest, każdy widzi. La Nowe Ateny tenía curiosas ilustraciones, pero por desgracia no hay ninguna de un caballo…

(Encontré la definición aquí)

El futuro no nos necesita

Hace poco censuraba la “candidez” de José Antonio Marina ante las consecuencias de la ingeniería genética. Es quizá disculpable: Marina es un filósofo, no un experto en la dinámica de la tecnología. No es tan fácil encontrar voces autorizadas en este campo.

Por un lado, muchos presuntos expertos en tecnología son en realidad tecnófilos enamorados de los gadgets. Y aquí de lo que se trata no es de las aplicaciones directas de tal o cual invento, sino de cómo altera nuestro ecosistema social. Esto es mucho más difícil de evaluar, porque es un efecto sistémico. Cuando se inventó el motor de explosión, no era difícil predecir el automóvil. Pero ¿quién iba a imaginar el carnet de conducir, las ciudades-dormitorio o la crisis del petróleo?

Para contrarrestar a los tecnófilos enganchados a sus juguetitos, tenemos a una horda de ludditas, vestidos hoy de ecologistas o de new-age, que ven en la tecnología una fuerza deshumanizadora y se oponen por sistema, con un discurso emotivo pero a menudo irracional.

Hacer predicciones es muy difícil, especialmente cuando se trata del futuro (como dijo Niels Bohr). Pero si queremos tener alguna posibilidad de acertar, necesitamos consultar a otro tipo de gente: expertos en tecnología que comprendan que lo esencial no son los chismes, sino el sistema que forman con nosotros, o ecólogos que entiendan la tecnología. No debe haber muchos, pero se me ocurren Lewis Mumford, Freeman Dyson, James Lovelock… y acabo de descubrir uno nuevo: Bill Joy.

Nacido en 1954, Joy es uno de los niños prodigio de la primera generación del boom de la informática (como Bill Gates y Steve Jobs, que nacieron un año después). Creador de una difundida versión de UNIX, co-fundador de Sun Microsystems y uno de los padres del Java, nada hacía pensar que Joy fuera otra cosa que un geek crecidito.

Pero en el año 2000, salió del armario con un largo artículo en la revista Wired titulado Why the future doesn’t need us, en el que denunciaba los riesgos de las tecnologías más prometedoras del nuevo siglo: la ingeniería genética, la nanotecnología y la robótica (para abreviar, las tecnologías GNR).

El análisis de Joy me parece muy lúcido porque se centra en un punto clave, un punto que casi nadie comprende. José Antonio Marina decía que “todas las técnicas nuevas -desde la metalurgia a la energía nuclear- pueden utilizarse bien o mal. Y ésta [la ingeniería genética] también”. Tranquilizador, pero falso. Las tecnologías GNR son muy distintas a tecnologías anteriores. Y lo son porque son auto-replicantes. A diferencia de una espada o una bomba atómica, una bacteria se reproduce a sí misma. Y eso lo cambia todo radicalmente. Quien no lo entienda, debería repasar qué es una progresión geométrica y qué es una explosión.