L.M. Lederman y C.T. Hill: La simetría y la belleza del universo

A uno le gustaría que los libros de divulgación científica –ya que no suelen ser baratos- fueran siempre buenos y bonitos: amenos, instructivos, inteligentes… Pero pasa como con cualquier género literario, y resulta que los científicos, incluso los premios Nobel, no están mejor dotados que otros gremios para la escritura.

Un ejemplo es este libro: un pulcro volumen de la serie Metatemas, firmado nada menos que por el Nobel de física Leon M. Lederman (y por un tal Christopher T. Hill, que resulta ser también un pez gordo: director del Departamento de Física Teórica del Fermilab de Chicago) y con el impresionante título de La simetría y la belleza del Universo.

Hojeándolo encontré que explicaba el papel de la simetría en la física y su relación, mediante el Teorema de Noether, con las leyes de conservación (de la energía, el momento, etc). Un tema intrigante que nunca me explicaron en la carrera (al menos, nunca bien), y del que sólo sabía que, según Noether, “cada simetría continua da lugar a una magnitud conservada”: uno de los resultados más profundos de la física.

Todo a priori muy atractivo. Me pareció además el tónico ideal para recuperarme de las mamarrachadas de Fernando Vallejo (y estaba en el mismo estante de la biblioteca) así que me puse a leerlo con muchas ganas.

Ha sido un fiasco: he acabado leyendo “en diagonal”, saltándome páginas enteras, y, lo peor de todo, he terminado pensando que, con libros así, no es extraño que salgan Fernandos Vallejos.

¿Cuál es el problema? Que Lederman y Hill se han propuesto una tarea mal definida, nada fácil, y para la que no están dotados.

La simetría es un concepto escurridizo: obvio en el nivel visual, es mucho más sutil en el plano abstracto que es el que interesa en física y matemáticas. Aquí la idea se hace mucho más difícil, pero alcanza una profundidad y una belleza mucho mayores. Y sin embargo, es el mismo concepto, y puede aprovecharse el aspecto obvio para iluminar el sutil. Eso es lo que haría un autor competente en un libro de 350 páginas como éste. En cambio, Lederman y Hill se pierden en el consabido tour de las maravillas de la física: gemelos viajando en naves espaciales, supernovas de cuyas cenizas surgimos nosotros como el Ave Fénix, inflaciones cósmicas… en fin, el catálogo completo de lo que Vallejo llama “marihuanadas”.

Todo esto es irrelevante para explicar la idea de simetría, pero es que además no se entiende nada. Leyendo este libro se convence uno de que la claridad, la capacidad para explicar temas difíciles, es un don que se tiene (Feynman) o no se tiene (Lederman). Dudo que alguien que no sea físico pueda sacar algo en claro de este libro (yo, que lo soy, no he entendido nada que no entendiera previamente), pero por si me equivoco, pueden hacer la prueba con esta explicación del concepto de invariancia gauge. Es un poco largo, pero merece la pena:

Si buceamos en la estructura matemática de la teoría de Maxwell nos encontramos con que existe algo aún más fundamental que los campos eléctricos y magnéticos. A este algo se le ha dado un nombre bastante estrambótico, pues se lo denomina campo gauge, el cual está relacionado con los campos eléctricos y magnéticos de una manera peculiar: si nos dan el campo gauge en cualquier región espaciotemporal, podemos calcular siempre el valor de los campos magnéticos y eléctricos en esa región. Sin embargo, el proceso no es reversible, es decir, a partir de unos campos eléctricos y magnéticos en una región, no es posible determinar exactamente el campo gauge al que corresponden. De hecho, existe siempre un número infinito de campos gauge que producen los campos electromagnéticos observados.

El campo gauge siempre queda indeterminado, pues existe una ambigüedad en su forma cuando tratamos de reconstruirlo. Por otra parte, mientras los campos eléctricos y magnéticos son fáciles de medir en laboratorio, no es posible determinar el campo gauge ni mediante la teoría ni a través de un experimento. Ni siquiera un valor nulo en todas partes para los campos eléctricos y magnéticos –es decir, un vacío- determina el valor del campo gauge (hay infinitas alternativas posibles para que éste que dan como resultado unos campos eléctricos y magnéticos nulos). El campo gauge es, pues, un “campo oculto”, impermeable a cualquier medida que pueda determinar su forma exacta.

(…) En 1870, Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, un famoso contribuidor a la teoría del electromagnetismo, mostró que diversas formas de campo gauge podían tener las mismas consecuencias físicas, es decir, llevar a los mismos campos eléctricos y magnéticos. Se podía pues transformar de manera continua un campo gauge y la física involucrada permanecía invariante. Era en definitiva el primer ejemplo de una nueva transformación de simetría en la electrodinámica –la “transformación gauge”-, aunque en aquella época no se llegaron a apreciar sus implicaciones como simetría fundamental de al naturaleza.

De hecho, si le damos la vuelta al argumento e insistimos, como si fuera un principio de simetría, en que el campo gauge ha de ser siempre un campo oculto que no se puede determinar de forma inequívoca, descubrimos algo notable: la simetría gauge implica que la carga eléctrica ha de conservarse. Podemos transformar de manera continua nuestro campo gauge en otro, sin cambiar los valores de los campos eléctricos y magnéticos, y resulta que ésta es la simetría que, por el teorema de Noether, lleva a la conservación de la carga eléctrica. Esta simetría oculta tan rara es la denominada invariancia gauge.

Comparado con este galimatías de arbitrariedades, los teólogos bizantinos discutiendo sobre las jerarquías de los ángeles parece que hacían realismo social. Casi puedo oir a Vallejo gritando ¡¡marihuanadaaaas!!

¿Y que hay del Teorema de Noether? Nada: tras leer el libro, sólo sé lo que ya sabía: que “cada simetría continua da lugar a una magnitud conservada”. Pero ni una palabra sobre cómo o porqué. La pobre Emmy Noether sólo está aquí como un tributo a la corrección política: ejemplar figura de científica, marginada por su condición de mujer, etc.

Lo más triste es que este libro, como explican en el “Epílogo para educadores”, surgió de un programa para mejorar la enseñanza de la física en secundaria. Hicieron una web, pero los autores pensaron que “educar científicamente al gran público era tan importante como formar a los estudiantes”, idea que les llevó a escribir este libro: “de este modo, muchas de nuestros jóvenes alumnos, postgraduados e incluso colegas a quienes la conmoción causada por la teoría de supercuerdas y la moderna cosmología les ha llevado a interesarse por estos temas, ya tienen por dónde empezar. Pueden hacerlo por aquí”.

¡No por favor!: mejor que empiecen por otro lado: por ejemplo, por las partes I y II de este libro.

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19 respuestas a L.M. Lederman y C.T. Hill: La simetría y la belleza del universo

  1. Joaquín dijo:

    Antes de nada, como suelo hacer aquí, me excuso por ser “de letras”…

    A mi también me intriga la belleza que descubrimos en las matemáticas (creo que hay un clásico), o muy habitualmente, de ciertas partidas de ajedrez (a las que se adjudican premios de belleza).

    El interrogante clásico es: estos artefactos o construcciones mentales (las matemáticas, el ajedrez, etc.), ¿nos parecen bellas porque tienen alguna propiedad intrínseca que las hace bellas, o decimos que son bellas porque nos lo parecen?

    El asunto de la belleza (que supone una relación esencial entre observador y cosa observada) se asemeja mucho al principio antrópico, me parece a mí. Poseemos en la mente una noción de “belleza” que se corresponde a una “sintonía” entre nosotros y las cosas.

    (No sé si he sido demasiado oscuro, o espeso).

  2. Leo Borj dijo:

    Tengo en borrador el post “Belleza y verdad” en referencia a la elegancia de las expresiones matemáticas que más acertadamente describen muchos comportamientos de la naturaleza. Son solamente unas pocas líneas y referencias. Quizás, el libro que reseñas cae en el “Vallejerismo” por como bien dices, la ausencia de don didáctico de los autores y, digo yo, por reducir a la simetría la bella complejidad del universo.

  3. JuanPablo dijo:

    ¡cómo me rompen las p… esos libros que van a hablar de, pongamoslé, el cero, y se deliran paseando por los tópicos más comunes! y uno termina viendo un refrito de las cosas de siempre: los infinitos de cantor, el teorema de la bola peluda, las paradojas habituales, la probabilidad de monty hall o la de dos que cumplen años de un grupo de 23…

    sobre el teorema de Noether, Baez tendría que escribir alguna vez algo: http://www.math.ucr.edu/home/baez/noether.html

  4. Ni! dijo:

    Simetría y belleza… o quizá belleza debido a la simplicidad que aporta la simetría. Es una pena que sea tan difícil explicar de forma sencilla conceptos tan complejos, y al menos hay que reconocer el esfuerzo a quienes lo intentan (pero me voy a quedar con tu reseña y el enlace que pones a “el universo elegante” para que el tiempo que has perd… esto, empleado en leer a Lederman no caiga en saco roto).

    Como físico seguro que conoces la búsqueda de la belleza en las ecuaciones de Paul Dirac; la idea intuitiva de que si una teoría es matemáticamente bella entonces es más probable que vaya por el buen camino… no hay una razón objetiva, pero de alguna manera algo – nuestra inocencia de homo-sapiens – nos dice que puede ser así, que el universo no debería ser tan complicado y que cuando una teoría se vuelve inmanejable es el momento de cambiar de enfoque y volver a empezar. O encontrar un buen científico – divulgador que convierta lo oscuro en asequible. Porque si no, como bien dices, llegará antes quien saque provecho de ello… “a teoría revuelta, ganancia de embaucadores” podría decirse.

    El caso del tal Vallejo (ya me estuve riendo con tu post anterior) tiene un detalle interesante, y es que aunque nada de lo que dice es creíble, se da cuenta del recelo que mucha gente tiene hacia ese oscurantismo de la terminología científica y lo aprovecha con ingenio. Al final la expresión “marihuanadas” da en el clavo. Al menos es un buen vendedor.

  5. Rafael M. dijo:

    A mí, ni las matemáticas ni la física me entran. Todos los profesores de matemáticas que he tenido explican como si yo hubiese nacido con un libro de teoremas bajo el brazo. Esto me viene desde hace años, ser reacio a las fórmulas y a los tecnicismos y tener más interés por los ejemplos más sencillos.

    No obstante, dejando a un lado la enseñanza “obligatoria”, podemos encontrarnos demasiadas especulaciones en los libros, ya no de física, sino de cualquier tema. Al parecer, cuando uno lleva bastante tiempo en una materia, llega el día en que decide permitirse el lujo de especular y fantasear, sin pensar en la consecuencia que puede llevar a esto una vez sea publicado. Supongo que caen el error y en el lado opuesto de lo que se creen, es decir, ser unos expertos.

    Por otro lado, el mundo de los libros, del relleno, el aumentar la letra para que te salgan en vez de 300 páginas, 800. Y el del mercantilismo, nos ha llevado a encontrarnos con esto. Con pésimos libros que sólo importa venderlos. Menos mal que era de la biblioteca.

  6. pseudopodo dijo:

    Joaquín, no hace falta que te excuses por ser de letras… al fin y al cabo, yo no me excuso por ser de ciencias cuando toco aquí temas “de letras” La pregunta sobre la belleza se las trae. Yo creo que la respuesta estándar en los medios “de letras” (por seguir con la dicotomía) seguramente es que la belleza es algo subjetivo. Por lo menos eso parece el mensaje del arte moderno, en el caso de que tenga algo que ver con la belleza. Sin embargo, creo que la mayoría de los físicos y de los matemáticos te dirán que es la belleza es objetiva. Y por una buena razón: la belleza funciona.

    Lo que quiero decir con eso se explica bien con el ejemplo de Dirac, que mencionaba Ni! La ecuación de Dirac fue uno de los mayores logros de la teoría cuántica, porque por primera vez logró compatibilizarla con la relatividad. Lo más sorprendente es que tenía unas consecuencias extrañas y totalmente imprevistas, que fueron cumpliéndose inexorablemente (la más extraña, la existencia de antimateria). Cuando unos años más tarde preguntaron a Dirac como logró dar con esa ecuación, respondió:
    I found it beautiful.
    (Dirac era legendario por su laconismo, pero esa es otra historia)

    Cosas similares han dicho todos los grandes físicos de este siglo: si una teoría es fea, no puede ser verdadera. Y por eso la belleza tiene que ser objetiva, de alguna manera tiene que estar conectada con la verdad. Lo que es un misterio es por qué somos capaces de captar esa belleza.

    Podría ser que evolutivamente hayamos desarrollado una sensibilidad para ella precisamente porque es una señal de verdad. En otro terreno más prosaico, parece que los hombres encontramos bellas a las mujeres que son mejores para la reproducción (y viceversa): el sentido estético funciona como una guía que sintetiza muchas percepciones inconscientes. Algo similar podría pasar en el plano cognoscitivo: aquí también la belleza nos indicaría lo que funciona. Pero son todo especulaciones.

    Leo, esperamos ese post, infórmanos.

    JuanPablo, gracias por el enlace. Baez lo explica muy bien, pero, claro, hay que saber lo que es un lagrangiano (y además no es nada intuitivo el resultado, me parece a mi)

    Rafael: es verdad, menos mal que era de la biblioteca. De momento, con los libros que compro yo he tenido pocas decepciones. A lo mejor, cuando tengo que gastarme el dinero me aflora un instinto para reconocer otro tipo de belleza (la belleza libresca)… :- )

  7. loiayirga dijo:

    Aquí sería ideal que una persona que ha estudiado filosofía, como yo pudiera explicarles por qué los escolásticos decían, “Bonum, verum et pulchrum convertuntur.” Bondad, verdad y belleza eran tres de los trascendentales del ser. En fin, ya lo he dicho. Sería bueno que yo pudiera explicarselo.

  8. Yoyontzin dijo:

    Hola,

    Estoy leyendo el libro titulado “la ecuación jamas resuelta” de Mario Livio. Hasta ahora me parece un buen libro que trata entre otras cosas de la relación belleza – simetría y de cómo la matemática (y la física) ha lidiado con esto. Un buen pretexto para introducir las ideas de Galois.

    A lo mejor ya hasta se ha comentado este libro en este agradable foro, pero la verdad es que no he tenido mucho tiempo de seguirlo últimamente. En cualquier caso, comento tan solo para hacer acto de presencia, y caro, para saludarlos.

    Un saludo pues.

  9. pseudopodo dijo:

    Loiayirga, yo esperaba que tú, como filósofo oficial de este blog, nos ilustraras sobre esto, pero veo que te ha dado un ataque de astenia (vulgo vaguería). ¿Es por eso por lo que has cerrado el blog? Te vamos a echar de menos… espero que al menos te sigas pasando por aquí

    Gracias por la recomendación, Rogelio, no conocía el libro y no he leído nada de Mario Livio. Es un placer leerte por aquí.

  10. instan dijo:

    El problema es el de siempre. El ser premio Nobel no asegura que se sea buen divulgador, los hay buenos como Feynman y Weinberg, y los hay nefastos.

    También esa obsesión por darlo todo masticado como si el lector de divulgación científica (que los hay de distintos niveles, algo de lo que parecen no querer darse cuenta muchos autores de divulgación) no fuese lo suficientemente atrevido para intentar comprender en profundidad lo que se comenta. Aquí el problema está en que se empeñan en hablar de una física que ni siquiera los que hemos estudiado física (y en mi caso si he estudiado cosas como el teorema de Noether, la relatividad general o las teorías de campos) comprendemos realmente si no somos especialistas. Lo peor de todo es que es pura especulación y son teorías que no están demostradas empíricamente, o que al menos tengan una base conceptual sólida apoyada sobre el resto de la física.

    Es mucho más interesante la divulgación sobre campos de la física bien establecidos. Hay temas interesantísimos para la divulgación como los fundamentos de la mecánica cuántica, y la propia teoría en sí. Si un libro trata de supercuerdas, pasando por la física de partículas, deja sólo una pequeña parte para explicar qué es la mecánica cuántica, tema que me temo que encontrarían mucho más interesante la mayor parte de los lectores.

    No obstante hay libros buenos, como el de Green, o el de t’Hooft sobre partículas elementales. Pero también llevan a engaño, porque muestran una física reduccionista, de esa que tantas veces se ha comentado en este blog. Y si uno se para a hacer una estadística de las preferencias filosóficas de los premios Nobel se llevaría muchas sorpresas, ya que una buena parte de los laureados por contribuciones a la física de materia condensada no comparten estos puntos de vista que son los mayoritarios en la literatura anglosajona de divulgación científica.

    Como ejemplo de otros puntos de vista me parece interesante el libro de Rober B. Laughlin, Un universo diferente, que además es bastante ameno por las anécdotas que cuenta el autor, aunque es un poco disperso en lo que ha contenidos se refiere (en mi caso estoy de acuerdo con buena parte de las tesis que sostiene en este libro).

  11. pseudopodo dijo:

    Es verdad, creo que mucha divulgación lo que hace es intentar asombrar al lector (por eso decía lo del “tour de las maravillas”) en vez de enseñarle a pensar. Ese tipo de divulgación es en realidad anticientífico, porque como realmente no puedes juzgar lo que te están contando, te exige que lo aceptes como artículo de fe. No creo que eso haga un buen servicio a la ciencia (en quien no esté predispuesto a favor, puede hasta ser contraproducente).

    Estoy totalmente de acuerdo con que es mucho más interesante la divulgación de campos bien establecidos. Y más todavía si se trata de enseñar a pensar, en vez de centrarse en explicar todos los resultados. Hace algún tiempo empecé una serie de posts que se titulaba “Pensar como un científico” con esa idea, pero como suele pasarme, cogí carrerilla filosófica y no llegué a meterme en los ejemplos puramente científicos…

    En este género (muy poco cultivado) Feynman y Weinberg son dos maestros. Y no hay demasiados. De Greene no he acabado aún El Universo Elegante, pero por ahora es magnífico. Y añadiría también a Penrose (La nueva mente del emperador). Pero yo creo que más interesante todavía es la divulagación de la física clásica, una divulgación que tuviera en cuenta los aspectos culturales, históricos… y aquí si que no hay casi nada escrito que merezca la pena de verdad (hay bastantes cosas, pero siempre son condescendientes con el lector).

    El libro de Laughlin lo leí hace unos meses y la verdad es que no me gustó. De vez en cuando decía cosas inteligentes, pero era frustrante que no acababa de explicar nada y cuando la cosa se ponía difícil salía del paso con un chiste…De todos modos, me parece atractivo su planteamiento, yo también simpatizo con la idea de que hay algo equivocado en el reduccionismo. Habrá que esperar a que escriba un libro de divulgación P.W. Anderson (por cierto, está en la web su célebre artículo More is different, que es el manifiesto antirreducionista por excelencia en física, no sé si lo conoces)

    • Ana dijo:

      Don Pseudo, el enlace a “More is different” está roto 😦 ¿Podría ofrecernos otro que esté activo? Mi inglés es pésimo y mis conocimientos de física cuasi nulos (lo justo para diferenciar un protón de un bote de leche), pero me gustaría disponer de ese “manifiesto antirreducionista por excelencia” 🙂 Gracias, y gracias también, como siempre, por ponernos en alerta sobre los bodrios con aspecto solemne que pululan por ahí. Un abrazo para usted y la concurrencia.

  12. instan dijo:

    Sí, he leído el artículo de Anderson, es muy interesante. Los libros de Penrose son muy interesantes, pero absolutamente tramposos. En vez de mostrar una serie de hechos científicos para demostrar su punto de vista parte de su idea y trata de meter con calzador los hechos. Pero eso no impide que sus libros sean muy buenos, y su enciclopedia de la física tiene buena pinta.

  13. Javier Rubio dijo:

    Hola! Gracias a este articulo me voy a ahorrar leer el libro de Lederman & Hill. La verdad es que hacer buena divulgación parece algo muy difícil. No sé si procede preguntar cosas de detalle en este blog, pero llevo tiempo dándole vueltas a la cuestión de si el vector conservado de Laplace-Runge-Lenz en el problema de Kepler se puede obtener (deducir) como consecuencia de alguna simetría del Lagrangiano correspondiente. Saludos.

  14. MarianoS dijo:

    Javier, con permiso de Pseudópodo, supongo que se pueden responder cosas de detalle en este blog :-).

    El vector conservado de LRL para el problema de Kepler resulta, como intuyes, de una simetría adicional de ese problema, pero la conexión no es tan evidente como en el caso del momento angular, pues la simetría asociada no es una transformación del espacio ordinario, sino que actúa en un espacio mayor que incluye las velocidades y/o momentos (transformaciones no puntuales, en la jerga de la Mecánica Clásica). Las constantes del problema (energía, momento angular y vector de LRL) cierran siempre un álgebra cuadrática bajo el corchete de Poisson, álgebra que si te limitas a un valor particular de la energía es un álgebra de Lie (que incidentalmente, el álgebra que está en la base de la derivación original de Pauli para el espectro del átomo de hidrógeno en Mecánica Cuántica).

    Este articulo (enciclopédico) seguramente contiene todo lo que podrías querer preguntar sobre el vector de LRL en el problema de Kepler y sus análogos en otros sistemas; en la primera parte tiene una buena introducción histórica y hay muchas referencias que pueden serte útiles

    http://arxiv.org/pdf/math-ph/0403028v1.pdf

    Otro lugar en donde seguramente habrá alguna pregunta relacionada con la que tu te haces (y respuestas en general fiables) es en Physics Stack Exchange.

    • Javier Rubio dijo:

      Muchas gracias por la información y por el link a este artículo de arXiv que no conocía. Así, el vector de LRL corresponde a una simetría “no puntual”, es decir, dependiente de las velocidades. Entonces no correspondería a una simetría Noether, ¿no? (salvo extensiones o generalizaciones de los teoremas de Noether). ¿Corresponde entonces a una simetría de Lie?
      El artículo de Pauli ¿está disponible —en inglés—en la red? ¿Podrías darme la referencia, por favor?
      ¿Podrías por favor especificar cuál es la transformación no puntual (dependiente de las velocidades) concreta que siendo una simetría del Lagrangiano del problema de Kepler tiene como cantidad conservada asociada al vector de LRL? (no hay manera de encontrarla…)
      Muchas gracias por tu amabilidad, ha sido una información MUY interesante.

  15. MarianoS dijo:

    Javier,

    Supongo por tu comentario “(no hay manera de encontrarla…)” que ya has estado buscando transformaciones, puntuales o no, que dejen el Lagrangiano estrictamente invariante. Ciertamente, así planteado creo que no existe ninguna transformación ligada al vector de LRL. La cuestión es que la cantidad realmente relevante es la acción. Por ello, la condición que debe imponerse sobre el Lagrangiano para traducir la exigencia de que una transformación sea una simetría es que el Lagrangiano sea gauge-variante, esto es, no que tras la transformación quede invariante, sino que haya cambiado por una derivada total con respecto al tiempo. Tal término extra resulta irrelevante a efectos del principio variacional con extremos fijos, por lo que las ecuaciones (de Euler-Lagrange) del movimiento son invariantes bajo la transformación, que es lo que físicamente deberíamos imponer.

    Este es un punto algo sutil, que a veces se ignora en cursos o en textos. Realmente, yo creo que debiera llamarse teorema de Noether a la versión general, que para el Lagrangiano no exige invariancia estricta sino solamente la gauge-variancia, pues ésta es realmente la condición que asegura la invariancia ‘física’ del sistema. Pero si se sigue llamando T. de Noether al convencional, entonces lo que se requiere, como indicas, es una versión ligeramente generalizada del teorema.

    Una buena referencia sobre este punto concreto, que ademas discute entre otros precisamente el ejemplo del vector de LRL en el problema de Kepler, y que da las formas explícitas por las que me preguntas es “Conservation laws for Gauge-Variant Lagrangians in Classical Mechanics”, J.M. Lévy-Leblond, Am.J.Phys 39, 502 (1971). Yo tengo el fichero, pero supongo que dada su antiguedad, se podrá encontrar libre en la red; si no lo encuentras te puedo dejar un enlace al mio en mi blog para no abusar de la hospitalidad de nuestro anfitrión.

    En cuanto a la derivación de Pauli, no tengo a mano la referencia, pero está reproducida en cantidad de sitios, de manera más o menos literal. Ahora mismo recuerdo una muy clara y bien comentada, en el texto de Quantum Mechanics, de L. Schiff; es un ejercicio precioso de teoría de grupos aplicada con la cabeza….

    • Javier Rubio dijo:

      Mariano,
      Muchísimas gracias por tu respuesta que es muy esclarecedora; y gracias por el link al artículo de JM Lévy-Leblond (que he podido encontrar libre en la red). La verdad es que veo que hay una enorme cantidad de literatura al respecto , y no resulta fácil aproximarse a la misma para un aficionado. Los libros de texto standard (Goldstein,….) no entran en demasiados detalles ni sutilezas. ¿Podrías recomendarme algún libro que trate estos asuntos de manera no excesivamente técnica, al estílo “físico”? (Nivel Goldstein o similar).
      Una cosa que no acabo de ver: En el artículo citado de JM L-L, cuando trata el problema de Kepler (pág. 505), ¿cómo deduce, o al menos motiva, la forma de la transformación de las coordenadas (eq. 36)[ (porque la de las velocidades (eq 37) se deduce—creo—de la (eq. 36)] que finalmente darán lugar al vector A de LRL (eqs 39 y 40)?
      He encontrado otro lugar (cito al final) donde se escriben estas transformaciones, pero….nos remiten al artículo de JM L-L (!).
      Muchísismas gracias por tu atención, un cordial saludo.
      [M Reitz, “The symmetries of the Kepler problem”, Bachelor Thesis, Univ of Amsterdam, 2011]

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