Pitágoras, según Einstein

Esta es la demostración más sencilla y elegante que existe (y que puede existir, creo yo) del Teorema de Pitágoras.

pitagora

En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área Sa; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será Sb. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área Sc.

Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:

Sa = k·a2
Sb = k·b2
Sc = k·c2

donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).

Además, es obvio que

Sc = Sa + Sb

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,

c2 = a2 + b2

* * *

Cuando Einstein tenía once años, su tío Jacob le enseñó la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras. Al pequeño Albert le pareció demasiado complicada, y pensando sobre el asunto, dio con esta prueba (o al menos, así se lo contó a su asistente Ernst Strauss, que se lo contó a Schneior Lifson del Instituto Weizmann de Tel Aviv, que se lo contó a Manfred Schroeder de la Universidad de Gotinga, que lo contó en su libro Fractals, Chaos, Power Laws, donde lo leí yo…)

Como dice Schroeder, la belleza de esta demostración no está sólo en su simplicidad, sino en que pone de manifiesto la esencia del teorema de Pitágoras: es una consecuencia de que las áreas escalan con el cuadrado de las longitudes. Y es sorprendente que baste con eso para demostrarlo.

Está claro que Einstein ya apuntaba maneras con once años.

Actualización (2-12-2008): para quienes no vean claro eso de que “en el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal” puede ser interesante leer el siguiente post.

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65 respuestas a Pitágoras, según Einstein

  1. .Marfil. dijo:

    Seguro voy a resbalar en lo que voy a decir, pero desde que hice el tonto hablando de los “femures anteriores” en el blog de Paleofreak no creo que pueda decir nada peor. :D

    Hay cientos de comprobaciones del teorema de Pitágoras (Elisha Scott Loomis reunió y publicó 367 demostraciones del mismo. También hay evidencias que los chinos demostraron ese teorema antes de Pitágoras, pero lo más divertido es que hay quienes dudan que utilizara ese método para demostrarlo, que hay quienes dudan que Pitágoras lo demostrara y que hay, incluso, quienes dudan que Pitágoras haya existido.), sin embargo me sigo quedando por la de Euclides ya que es la primera en ser realmente axiomática, mientras la mayoría de “demostraciones” anteriores casi siempre se basaban en ejercicios visuales de superposición (y eso esta más cerca del origami que de las matemáticas :D ).

    En esta demostración de Einstein –realmente no sé quién a habrá usado primero– me parece que se están usando propiedades que es necesario primero aclarar, como la semejanza (misma forma, lo que se sigue de que cada uno de los tres triángulos tienen los mismos angulos en el mismo orden) y la propiedad de que las figuras planas semejantes en sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. A su vez, lo realmente profundo en la demostración de Euclides se haya en como deja sin lugar a dudas que para llegar a la demostración hay que usar un mínimo de postulados, entre ellos el quinto postulado de las paralelas. Y en fin ya sabemos lo que pasó con el postulado en la historia de las matemáticas…

    Por supuesto la conclusión que se pone de manifiesto en la demostración de Einstein es bastante importe: “El teorema de Pitágoras es una consecuencia de que las áreas escalan con el cuadrado de las longitudes”. Pero no me parece en modo alguno un rival para lo que realmente hizo Eúclides que fue consolidar precisamente la misma idea de “demostración” como una sucesión de pasos deductivos a partir de unos postulados; en la demostración de Einstein se parte de nociones más avanzadas lo que le hace ver más simple, pero si esas nociones también se tuvieran que demostrar volveríamos al punto de partida de Eúclides.

    Por cierto, esta historia rompe uno de los famosos mitos de que Einstein era tonto de niño, y que tantas veces se usa para dar falsas esperanzas en adquirir “genialidad senil” mientras de pequeño se es tonto… :P

  2. Pingback: La demostración del Teorema de Pitágoras | Enchufa2

  3. Rogelio Yoyontzin dijo:

    Hola,

    Para mi gusto, la demostración de Einstein usa un resultado que no es “intuitivamente obvio”, me refiero a la afirmación: El área de una figura geométrica es proporcional al área de su dimensión lineal. Usar este resultado con este nivel de generalidad, me hace pensar en figuras geométricas bordeadas por curvas con muchas vueltas. El resultado sigue siendo válido, cuando las curvas son rectificables, pero la demostración ya requiere al menos de integrales de linea, que es entonces usar algo mucho más fuerte que lo que se quiere probar.

    A cambio yo restringiría esta afirmación a
    “Dado que el área de triángulos rectángulos es proporcional al cuadrado de la longitud de alguno de sus lados”, y agregaría una pequeña justificación de esto.

  4. pseudopodo dijo:

    No resbalas, .Marfil. :-)

    Seguramente la demostración de Euclides es “mejor” desde un punto de vista puramente matemático porque, como bien dices, es puramente axiomática y por eso más rigurosa, pero eso sólo puede apreciarse en un contexto más amplio, dentro de todo el marco de Los Elemento: así vemos que no se utiliza nada que no se haya demostrado previamente.

    Pero para cualquier no especialista, el fárrago de líneas auxiliares y triángulos oblicuos es difícil de seguir y sobre todo no nos da ninguna pista sobre de qué va la cosa (y uno piensa cómo demonios se le pudo ocurrir a alguien). Yo, desde luego, prefiero las demostraciones de “origami”.

    Pero me gusta más todavía la demostración de Einstein (que seguro que se le habría ocurrido a alguien antes) porque se basa en una única idea que además es sumamente importante en física, la del escalado. Nunca se me había ocurrido que bastara eso para demostrar el teorema de Pitágoras. Y es muy característica de Einstein esta manera minimalista de razonar, en eso es un maestro. Desde luego, el niño no tenía un pelo de tonto. La mayoría de mis alumnos, en 1º de universidad, no han caído en la idea del escalado de áreas con L^2, de volúmenes con L^3, etc. Son capaces de decir que el área de una esfera es 4·pi·r^3 y no darse cuenta de que están diciendo una burrada mucho mayor que si dijeran, por ejemplo, 2·pi·r^2

    Un detalle que me encanta de esta demostración es que no se mencione en ningún momento de forma explícita que el triángulo sea rectángulo: parece que no hace falta (sí hace, claro, porque si no lo es los sub-triángulos no salen semejantes)

  5. pseudopodo dijo:

    Hola, Rogelio, no había visto tu comentario.

    La verdad es que lo del escalado con L^2 falla precisamente en los fractales, pero desde el punto de vista intuitivo eso precisamente se puede omitir tranquilamente… Para mi gusto de físico, prefiero la generalidad de que el área de “cualquier figura” escala con L^2, es más elegante que restringirlo a los triángulos y es “casi” cierto… pero reconozco que con tu modificación la demostración es más rigurosa y a los matemáticos no os gusta la palabra “casi”.

  6. Rogelio Yoyontzin dijo:

    Bueno, pues mi único punto es que en ese caso, Einstein está usando un resultado qué es más complicado de demostrar que el mismo teorema de pitágoras.

    Es decir, demostrar que toda figura plana bordeada por una curva rectificable encierra una área que es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de la curva, es más complicado que (demostrar) el teorema de Pitágoras.

    Para mi gusto, pero sólo por cuestiones de gusto, la prueba quedaría mejor sin usar cañones para aplastar moscas. Un mata-moscas que para mi es adecuado, es restringir esta afirmación a triángulos, pero en gustos se rompen géneros. =)

    Al parecer para los físicos entonces es mucho más intuitivo este resultado del escalamiento que para mi lo es (y a lo mejor también lo es para la mayoría de la gente =) ). Si ese resultado es aceptado, reconozco que entonces la prueba de Einstein es muy fácil e útil para convencer de la validez teorema de Pitágoras sin más.

    Saludos.

  7. .Marfil. dijo:

    También tienes razón en que la demostración de Euclides es terriblemente farragosa; es decir, si no te dicen que es de Euclides y lo que trataba de hacer, parecería más la demostración de un estudiante universitario al que le ha salido por carambola; durante más de la mitad de pasos aplicados es casi imposible ver su razón de ser para llegar a el resultado final :D

    Para mi también son mejores las “demostraciones origami” o más intuitivas, pero aveces hacen un poco de daño cuando la persona que las lee no sabe que es una demostración de origami y su diferencia con una demostración formal. Ahora mismo se me ocurre Paul Feyerabend por ejemplo, en una de sus últimas conferencias, y no me extrañaría que otros “filósofos de la ciencia” también hayan caído en lo mismo… ahora que lo pienso no he encontrado ningún filosofo de la ciencia que no diga alguna burrada sobre los números irracionales, algo que se desprende de usar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un cuadrado cuyos lados midan una unidad.

  8. pseudopodo dijo:

    Rogelio, en realidad, lo que lía la cosa es tomar como “dimensión lineal” la “longitud del contorno”, porque entonces enseguida uno piensa (o por lo menos los matemáticos piensan) en que hay que demostrarlo para cualquier tipo de contorno, y esto lleva a contornos “raros” que son los que hacen la demostración difícil.

    La razón de que a mi me parezca tan intuitivo que las áreas escalan con el cuadrado de la dimensión lineal es que me imagino una figura “sencilla” (digamos con el contorno formado por tramos diferenciables) recubierta de cuadraditos muuuy pequeños; el área es el área de los cuadraditos. Ahora me imagino que todo se dilata uniformemente por un factor x, y entonces es obvio que el área de cada cuadradito se multiplica por x^2 y por eso el área total se ha de multiplicar también por x^2… Con este concepto ingenuo de área, no estamos usando un cañón para matar moscas, ¿no? (claro que el concepto ingenuo no vale para los casos “patológicos” y para eso se han inventado toda una teoría de la medida…)

    .Marfil., entonces estamos de acuerdo: el origami tiene su papel ;-), pero no para los profesionales… Si tienes la referencia de Feyerabend, pasamela, porque en lo (poco) que he leído de él me ha parecido que sí era riguroso…

  9. Rogelio Yoyontzin dijo:

    Si claro, con tu argumento pruebas que para un cuadrado la propiedad es válida y entonces infieres que se cumple para cualquier figura que pueda ser cubierta con cuadrados. … el problema está cuando la frontera se curva pues entonces no podrás cubrir completamente con cuadrados…. Intuitivamente poco importa que en la frontera no se cubra con cuadrados, pues entonces puedes tomar cuadrados más pequeños y así…

    Intuitivamente está claro, pero para demostrarlo formalmente, se necesita el concepto de límite, integral etc… que a mi gusto es un cañonazo, al menos respecto al teorema de Pitágoras..

    En realidad para los fines de la demostración de Einstein, no se necesita considerar curvas más complicadas que cuadrados (o triángulos) en cuyo caso la demostración de la afirmación “en cuestión!” se demuestra trivialmente. A esto me refería, basta hacerlo para el caso de cuadrados (o triángulos) y agregar un argumento de esto (como hiciste) Sin necesidad de meterse en la complicación de superficies que no se puedan cubrir totalmente por cuadrados (o triángulos).

    Pero los únicos peros los veo yo, posiblemente (como dices) por mi (de)formación como matemático, de no querer dar paso sin guarache.

    En cualquier caso muy interesantes, como siempre, tus post.

  10. Mostrenco dijo:

    Las hay muchísimo más sencillas, cómo ésta, que se puede hacer recortado y moviendo:

    upload.wikimedia.org/wikipedia/en/f/f7/Pythag.gif

    Además, dudo mucho que ésa demostración se deba a Einstein. Es bastante improbable que a nadie se le hubiese ocurrido algo tan simple cómo eso antes del final del siglo XIX. edit

  11. Frenzo dijo:

    Me parece que usando el terema de Tales, no es necesario hacer la suposición de que el area del triangulo escala como el cuadrado de su dimension lineal. Esa no parece una suposición que uno pueda hacer a los 11 años (¿qué haría un chico así a los 25 años entonces?).

    Si se ponen a los tres triangulos semejantes como se hace con el teorema de Tales, y se define la altura (Ha, Hb y Hc) como el cateto vertical y la base como el vertical (Ba, Bb, Bc), el area de cada triangulo es:

    Sa = Ba Ha /2
    Sb = Bb Hb /2
    Sc = Bc Hc /2

    Pero ademas tienen que cumplirse las relaciones equivalentes al seno y el coseno:

    Ha/a=Hb/b=Hc/c

    Ba/a=Bb/c=Bc/c

    Por ultimo, Sa + Sb = Sc. Combinando las ecuaciones se llega enseguida a a2+b2=c2.

  12. afalonso dijo:

    De simple no tiene nada esta demostración, puesto que parte de supuestos que también deben ser demostrados y no son precisamente intuitivos. Eso sí, elegante sí que es, sin lugar a dudas.

    Pero, haciendo de abogado del diablo, ¿la única referencia de esta supuesta historia es a través de su asistente? Ya sabemos lo fácil que es dejarse llevar por rumores para engrandecer alguna figura relevante.

  13. dmgonzam dijo:

    Einstein jamás existió.

  14. Respecto a lo intuitivo que es que el area aumenta con el cuadrado de la longitud, doy fe: hasta mis alumnos (de ciencias sociales) a los que explico que la cantidad de luz sobre una superficien desciende según el cuadrado de la distancia al foco lo entienden. Aunque su primera respuesta es: al doble de distancia, pues la mitad de luz…

    Por cierto ¿eso sólo vale para geometria euclídea?

  15. Felicitaciones. Tu blog apareció como uno de los mayor crecimiento en el Dashboard de los que usamos WordPress. Dada la temática de las cosas que escribes, es “reconfortante”, por decirlo de alguna forma, que la gente se interese en dichos temas.

    Saludos.

  16. drini dijo:

    Esta prueba en realidad data de mucho más anterior a Einstein. La versión más antigua que se tiene de esta prueba es alrededor de 1150 por el matemático y astrónomo hindú Bhaskara (quien además de esta prueba dio otra prueba por disección (la que rotuló como “¡mirad!”).

    Además esta misma prueba fue redescubierta por John Wallis (matemático inglés) en el siglo XVII.

    Precisamente por su simplicidad, esta prueba ha sido “descubierta” muchas veces en la historia, Einstein no el primero ni el último.

    Notar también que Bahksara es hindú, por lo que quizás el hecho de que los hindús eran más “aritméticos” que los griegos (geométricos) esté relacionado con que esta prueba no es una de las pruebas griegas “clásicas” (la de Pitágoras por disección, la de Euclides por áreas)

  17. drini dijo:

    Ah disculpas, he confundido la prueba.
    Me retracto.

  18. |MaZzOtTa| dijo:

    Yo me quedo con el famoso:

    H2: C2+c2

    (el 2 es elevado al cuadrado)

    Es lo mas facil de darse cuenta… ;)

    Saludos…

  19. pseudopodo dijo:

    Rogelio, no sabía ni lo que significaba “guarache”, pero veo que el dicho viene muy a punto. Gracias a ti por la discusión, es interesante ver las diferencias de punto de vista. Yo creo que la actitud “intuitiva” de los físicos y la “rigurosa” de los matemáticos son complementarias, pero para la enseñanza a nivel elemental el rigor puede provocar confusiones innecesarias y deformar la actitud, buscando siempre tres pies al gato…

    Mostrenco, está muy bien esa demostración. Supongo que lo que quieres decir es que es que “Es bastante improbable que no se le hubiera ocurrido a nadie algo tan simple cómo eso antes del final del siglo XIX”. Probablemente, pero yo no he visto referenciada esta demostración (y drini, que decía que sí, parece que se confundió con otra). Tampoco me extrañaría que nadie la hubiera puesto por escrito, porque el razonamiento es muy físico (fue precisamente el padre fundador de la física, Galileo, el que dio a los razonamientos de escala la importancia que tienen hoy en día) y para un matemático puede parecer que se usa algo más difícil de lo que se quiere probar (ver el intercambio de comentarios con Rogelio más arriba; supongo que también es lo que le parece a afalonso –por cierto, no, no he encontrado otra referencia a esto más que la que da Schroeder, remontándose al asistente-).

    Alberto, la experiencia que yo tengo es que esa idea resulta intuitiva a los alumnos cuando se les hace caer en ella, pero antes casi a ninguno se le ha ocurrido, y desde luego no la usan en los razonamientos. Es una pena, porque es un concepto muy potente (sirve para explicar, por ejemplo, por qué una hormiga no puede tener el tamaño de un elefante: sus patas no la sostendrían). La variación de la superficie con el radio si la geometría no es euclídea es más complicada. Por ejemplo, si te imaginas un círculo sobre la superficie de una esfera (por ejemplo, el área que en la Tierra queda por encima de una determinada latitud) y mides su radio sobre la esfera (en el ejemplo, es lo que mide el meridiano desde el polo hasta que se llega a esa latitud) verás que crece más despacio que si estuvieras en un plano. Si la superficie fuera una silla de montar, crecería más deprisa que en un plano.

    Frenzo, enhorabuena, tienes razón: así consigues eludir usar explícitamente que el área escala como L^2; por lo demás usas que son triángulos semejantes al poner que el seno y el coseno son los mismos. Lo que hiciera ese chico a los 25 años no lo sé, pero para mí que llegó lejos ;-)

    Wolverenstein: gracias, pero esto será flor de un día: es el efecto meneame…

  20. xfranx dijo:

    Hola, soy nuevo en wordpress. Te he visto y me he decidido a dejar mi primer comentario. No sé si saldrá.

    Saludos.

  21. Juan Paulus dijo:

    Me ha gustado la claridad de ideas que tienes compañero.

    Un abrazo JP

  22. wiskis dijo:

    Pseudópodo, comentas que el escalado del área con L^2 falla en los fractales. ¿Tiene que ver con el hecho de que los fractales tengan infinitos niveles de escala? En ese caso sería como multiplicar infinito por 2, seguiría dando infinito… Pero si es por eso, su “área” tradicional valdrá infinito, así que tampoco tendría mucho sentido ese concepto… ¿o puede que los cortes hasta un nivel de observación determinado y sólo observes desde ese nivel hacia lo más pequeño?

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  24. Torresltp dijo:

    Era de esperal k einstein lo hiciera mas facil, recordemos su frase “Todo deve reducise, a su máxima simplicidad.”

  25. Ferk dijo:

    No me termino de aclarar con esta demostración…
    ¿No podría haberse hecho eso mismo pero tomando como división de los 2 triangulos cualquier otra altura que no correspondiese con el del ángulo recto?

    Si se hiciese con alguno de los otros dos ángulos la ecuación sería distinta… o algo falta por explicar o no lo entiendo. En teoría cualquiera de las alturas del triangulo lo divide en dos triangulos de iguales ángulos.

  26. Lascano Jose dijo:

    ja mira vos,copado el dato..

  27. Kiol dijo:

    Hola. Bonita demostración, una pena que no sea de Eisntein que no sólo sufría de dislexia sino que no fue capaz de aprender fácilmente los conceptos de Tensores que le enseñó su propio inventor, aunque más tarde los aplicara en su teoría general de la relatividad.
    saludos.

  28. Fiso dijo:

    Se ha sacado de la manga que las 3 k’s sean iguales, en ningún momento demuestra eso. (desconozco si en la demostración “original” existe tal justificación)

  29. pseudopodo dijo:

    wiskis, el fractal solo es fractal en el límite; si lo “cortas” a un determinado nivel de observación es una figura ordinaria que escala de manera ordinaria. Así que el fallo en el escalado sí está relacionado con los “infinitos niveles de escala” (aunque más que hablar de fallo en el escalado, habría que decir que escalan de manera diferente, con una potencia de la longitud que no es entera…Espero que el próximo post aclare esto un poco).

    Ferk, hay que tomar precisamente esa altura para que los sub-triángulos sean semejantes entre sí y al triángulo grande. Si no lo son, el factor k sería distinto para cada uno y no sale la demostración.

    Fiso, los tres k son iguales precisamente porque los triángulos son semejantes: eso significa que son el mismo triángulo sólo que dibujado a distinta escala, por eso el factor k es el mismo.

  30. Frenzo dijo:

    Fiso, se puede ver que k = 1/2 cos t sen t, donde t es cualquiera de los angulos que no son el de 90º. Para eso basta ver que S = 1/2 base por altura = 1/2 cos t sen t por hipotenusa al cuadrado.

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  32. Fiso dijo:

    pseudopodo Dice:
    “Fiso, los tres k son iguales precisamente porque los triángulos son semejantes: eso significa que son el mismo triángulo sólo que dibujado a distinta escala, por eso el factor k es el mismo.”

    Eso mismo fue lo que pensé cuando lo vi, pero luego estube mirando el triangulo y me di cuenta que eso no podia ser cierto. Si acortas el triangulo por su parte derecha, haciendo que los lados ‘b’ y ‘c’ sean más cortos, ‘a’ no cambia. Teniendo en cuenta eso, no entiendo porqué la constante se mantiene. (Seguramente soy yo el que está equivocado, pero es que no lo veo).

  33. pseudopodo dijo:

    Fiso, supongo con “acortar el triángulo por su parte derecha” te refieres a mantener “a” y acercar el vértice de la derecha hacia “a”, pero es que entonces deja de ser rectángulo… Prueba a dibujarlo sobre el papel y te convencerás. De todos modos, lee el comentario de Frenzo, que pone explícitamente el valor de k.

  34. Javier Luna dijo:

    Señores, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de lo catetos.

    Y se acabo!

    Tanta vaina :)

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  36. Juan Sin Nombre dijo:

    ME ha gustado sobremanera lo que expones , asi como los comentarios por lo que me gustaria felicitar a su autor, Pseudopopo, y a todos ( o casi) los comentaristas ( yo no) por su interes y claridad en exponer de un modo sencillo y sincero sus muy fundads opiniones. Un saludo y gracias, :)

  37. Javier dijo:

    Una duda que me surge (leyendo a Juan Luna, el de tanta vaina), ¿la hipotenusa es el lado o la longitud del lado? (Posiblemente sea una de esas metonimias (?) de uso común.)

    Los matemáticos asiduos del blog proponen algo muy razonable: la demostración más intuitiva de Einstein tiene muchos más sobreentendidos y por ello es menos matemática. En todo caso, con la geometría siempre está la duda de cuántos conceptos ocultos mantiene tras la belleza marmórea de sus cinco axiomas. Recuerdo haber estudiado geometría básica en el Coxeter y alguna cosa dejaba caer sobre ello, por ejemplo, sobre la continuidad de las rectas (que siempre tienen puntos cuando hacen falta). Como a todos los matemáticos aplicados de la tendencia sintética (somos minoría, dominan los analíticos, o los indefinidos), acercarme a los fundamentos me provoca, en este orden: (a) un respingo (b) un bostezo (c) confianza en lo bien que estoy lejos de todo ello.

    En todo caso, para los creyentes en “Los elementos”, recordaré que nadie (especialmente los matemáticos) piensa con el método axiomático deductivo. Aprender a trabajar con el método deductivo es útil para chequear la veracidad de las aserciones, pero no ayuda a comprender su significado ni a descubrir nuevos teoremas. Simplemente no funcionamos así. Ya no es Einstein. Ni Hilbert pensaba del axioma en adelante.

  38. Javier dijo:

    A propos de la cuestión de cómo los físicos naturalmente veis las fórmulas con dimensiones y, por tanto, para vosotros una fórmula del área de una esfera con R ó R al cubo está mal desde lejos, allí claramente lleváis razón. Apunto razones desordenadas de por qué en España los matemáticos no piensan de esta manera:

    (a) Los profesores de matemáticas de secundaria no enseñan a ver las fórmulas así, principalmente porque ellos no son capaces de verlas así, casi seguramente porque sus profesores en la universidad nunca les enseñaron las cosas de esa manera y, desgraciadamente, la gente lee muy poquito.

    (b) Los profesores universitarios de matemáticas en España viven en un bourbakismo de alta intensidad (hasta los antifranceses se manejan con un lenguaje de lo peorcito de la Escuela de Chicago). Esto se combina con que muchos son profesores más que maestros (profesan una creencia, no la dominan).

    (c) El enemigo natural del matemático universitario es el físico, especialmente el teórico. [Las razones son históricas y prefiero no comentarlas]. A los matemáticos en la universidad se nos enseña que los físicos son unos chapuceros y que eso ni es rigor ni es nada. El físico es sistemáticamente ridiculizado por el matemático. Por eso, las argumentaciones simples no envueltas en el lenguaje preciso del método deductivo son vistas con sospecha.

    (d) La forma bourbakista o gaussiana (o incluso euclidiana) de exponer las matemáticas y el favorecer el enfoque axiomático-deductivo convierte el aprendizaje de muchas de las matemáticas básicas universitarias en un “kill your intuition”. Estudiar topología general del Willard es como tomar un curso de patología general. Cuando todavía estás haciéndote una idea firme de lo simple (lo que funciona bien), el énfasis se pone en el contraejemplo. Al final del proceso (los cinco añitos larguísimos de licenciatura), la mayor parte de los matemáticos españoles carecen de intuición, de autoconfianza en lo que saben, y andan sobrados de desdén por los conocimientos no expresados en un lenguaje matemáticamente pomposo (se dice riguroso, pero significa pomposo), complejo de inferioridad claro que hace que el 90% de los egresados terminen enseñando en la universidad o en secundaria o de informáticos de bajo nivel, por miedo al mundo real. Eso sí, con humos.

  39. Quizas lo unico que hizo Einstein fue ver desde su propio punto de vista, aunque quizas por practica nos parezca mejor utilizar el teorema de pitagoras como no los enseñaron a la mayoria,

  40. pseudopodo dijo:

    Javier, lo que dices sobre los matemáticos desgraciadamente me resulta familiar. Por dos motivos:

    (a) Porque en la carrera todas las asignaturas de matemáticas (salvo una 4º, la última que se daba) las impartían matemáticos. Yo no sabía quien era Bourbaki pero veía los resultados: en ecuaciones diferenciales no fuimos mucho más allá de los teoremas de existencia (eso sí, no en R^n, sino en variedades arbitrarias; no se qué “anillos de gérmenes” hacían falta…), el análisis de Fourier no lo estudiamos, etc, etc. La intuición no la llegaban a matar porque nunca daban la oportunidad de que naciera. Por suerte me compré el libro de Aleksandrov et al “La matemática, su contenido métodos y significado” y aprendí mucho con él.

    (b) Porque las demás asignaturas las daban físicos… y a su manera reproducían los vicios de los matemáticos: la intuición y el razonamiento cualitativamente brillaban casi siempre por su ausencia. Aquí me vinieron bien las Feynman Lectures, pero eran tan caras que sólo pude comprarme un tomo durante la carrera.

    El único matemático diferente fue el profesor de Análisis de 1º, que daba clase en un instituto. Fue extraordinario, y nos explicó maravillosamente los números transfinitos de Cantor.

    Lo malo, como dices, es que los licenciados que salen de aquí no pueden enseñar bien lo que no han aprendido. Yo no me di cuenta del desastre que había sido la carrera hasta que no empecé a hacer investigación. Por ejemplo: yo creía que el producto de convolución era una cosa superexótica que sólo servía… para demostrar teoremas de existencia; luego me lo encontré en cosas tan prácticas como la “función rendija” de un espectrofotómetro…: lo manejaban ¡hasta los químicos! (y un químico es a un físico lo que un físico a un matemático).

  41. Javier dijo:

    Definición: la química es la parte de la física que no se entiende.

    Yo tampoco estudié (¡en cinco años!) la transformada de Fourier. En un largo año de álgebra lineal nadie pensó en mencionarnos la descomposición en valores singulares. En tres años de métodos numéricos nunca me hablaron del gradiente conjugado. La FFT, tampoco. Y así mil cosas. Esó sí, que a los físicos os hayan explicado gérmenes de funciones y ecuaciones sobre variedades diferenciales,… eso casi me suena más a que os dio clase un físico teórico, a los que les encanta pasar por matemáticos (nunca he entendido por qué).

    Definición: La geometría diferencial es el arte de decir “por simplificar, supongamos que todo es C^\infty” y que la gente se lo crea.

  42. Frenzo dijo:

    En todo caso, la química es la parte de la física que los físicos no entienden.

  43. pseudopodo dijo:

    Javier, lo tuyo es clarividencia. Aquel profesor había empezado su carrera como físico para después doctorarse en matemáticas (en Francia, por cierto), parece que porque “no entendía” la mecánica cuántica, según decía él. Por otra parte, era elegantísimo sobre la tarima, y todos admirábamos su capacidad de dar clases impecables sin un papel…

    Definición: La química es la parte de la física que limita con la cocina (ya ahora a esperar a Frenzo ;-)…pero pongo la venda antes de la herida: que conste que esto es lo que se dice entre físicos en el bar, no es mi opinión)

  44. Frenzo dijo:

    La química es cocina. Pero bien gourmet y fiel al espíritu de la alquimia. También es cierto que, al compararla con la aridez de la física, la química puede parecer un poco mágica y misteriosa ;)

    Me acuerdo de que cuando estaba en la facultad, un matemático se había quejado de que los químicos no sabían mucho de matemática, a lo cual le respondimos que los matemáticos no sabían mucho de química.

    El problema con estas discusiones más bien retóricas y futboleras es que aburren bastante rápido. Y me voy, que se me pasan los spaghetti.

  45. Javier dijo:

    Frenzo, tienes mucha razón, aunque no tanta… :-) Parte de la idea de la no reciprocidad entre un matemático sabiendo de química y un químico de matemática es quién usa qué. Las matemáticas están por debajo de muchas partes de la ciencia, si bien de menos de las que parece hoy en día, donde la pompa matemática se utiliza como forma de adquirir prestigio ante otras ciencias.

    Mi definición de química (no es mía; la he oído) tiene un nivel no crítico donde se intenta reflejar que una gran parte de la química es descriptiva (una lista de fenómenos que ocurren, catalogados siguiendo reglas razonables y organizados por grupos de similitud) y no intenta ser explicativa, no va como loca por los principios últimos. En ese sentido, la química describe una parte de la realidad (física) en la que no se entiende por qué ocurre lo que ocurre. Conversación de bar, anyways. No offence meant. Disfruta los espaguetis.

  46. .Marfil. dijo:

    Pseudopodo, aquí te dejo unos scans en donde Feyerabend comenta algunas cosas sobre el teorema de pitágoras. En algunas cosas es muy conciso y riguroso, pero en conjunto se va por las ramas, busca hacer encajar todo en un relato de la historia griega (que a su vez incluye en un metarelato de una tragedia de Homero), y concluye lo que le viene en gana. En general lo que se puede apreciar es que cambia de “referente” muy rápidamente sin ver la diferencia, pasa de las “demostraciones de origami”, a la “reducción al absurdo”, y por último a la “matemática formal”.

    Es el error que yo mencionaba de no distinguir entre los “tipos de demostraciones”, que los supuestos no permanecen claros y que a niveles más bajos deben ser demostrados.

    http://img166.imageshack.us/img166/458/64569156vu1.png
    http://img516.imageshack.us/img516/3772/11445092dx8.png
    http://img210.imageshack.us/img210/4483/89209022is3.png

    La fuente es un libro/conferencias dadas por el llamadas “Ambigüedad y armonía”, que si no estoy mal fueron las últimas que dio (y no alcanzó a completar) antes de morir.

  47. Frenzo dijo:

    No hay forma de ofenderse por estas cosas, Javier. Pero la química es muy amplia. En muchos sentidos, la explicación más fundamental de los procesos químicos está en la mecánica cuántica y la temodinámica estadística, de modo que resolviendo algunas ecuaciones en forma aproximada y aburridísima se llega a soluciones perfectamente autoconsistentes y demás. Pero por algún motivo se pierde la gracia original del juego, que es basicamente combinar sustancias de un modo adecuado para obtener otras sustancias deseadas. Por eso cuando hay onda con una chica se dice que “hay química”. No se dice que hay ecuación de Schoedinger, o que hay función de onda, o que hay función de partición. Se dice que hay química.

  48. Javier dijo:

    Pero bien sabes, Frenzo, que lo que queremos los hombres de las chicas es que la química se convierta en física.

  49. pseudopodo dijo:

    Pero ojo, ojo con la física, porque supongo que conocéis el viejo consejo para identificar las asignaturas:

    Si se mueve es biología,
    si apesta es química,
    si no se entiende es matemáticas
    y si no funciona es física.

  50. fede dijo:

    Hola.
    Euclides da dos demostraciones. La famosa de I.47 y la menos famosa de VI.31:
    http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI31.html
    que es bastante parecida a la de Einstein (¿pudo haberla recordado de ahí?)

    A mi me parece que más sencilla la prueba que se desprende de la siguiente figura
    http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pythagorean_proof_(1).svg

    Saludos.

  51. Pingback: Links 4/01/09

  52. Kawil dijo:

    Aquí les paso un link sobre el Teorema de Pitágoras al cubo !!.
    http://earthmatrix.com/pythagoras.html

    Es interesante y novedoso la exposición, seguramente se divertiran.
    Saludos

  53. Anonimo dijo:

    mmmmm… me parece igual un poco complicada no entiendo subre las constantes (K) cmo puedo hacer una demostracion en la pizarra??? alguien me puede explicar como puedo explicarlo frente a publico?? porfa si alguien puede ayudarme que escriba en este muro .. lo antes posible!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! porfavor!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! es urgente!!!!!!!!!!!!!!!!!
    se agredeceria muxo la ayuda… :D:D se los ruego se los suplico que alguien porfavor m,e ayude.. ADIOS espero todas las buenbas vibras para quien me responda bien esta pregunta.. explicarme como demostrar esto en un pizarron frente a publico (es para la clase) Adios

  54. LUCERO dijo:

    HOLA
    PS
    AMO
    LA
    VIDA
    Y
    ESTO
    DEL
    TEORAMA
    ESTA
    MAL RECDACTADO
    UN
    ÇSALUDO
    A
    MI
    EX

  55. Tomas dijo:

    Una pésima demostración, pues la constante k de donde la saca, del espiritu santo, una constante universal pues tendría que demostrar primero la veracidad dela constante k, pienso humildemente…alguien me puede ayudar,
    gracias…

  56. Tomas dijo:

    Esa K no es constante pues si divides en varios triangulos rectangulos la superficie entre el cuadrado de la hipotenusa nunca sale la misma constante, se aproxima cierto, pero no es exactamente la misma, luego no entiendo como podéis decir que demostró nada…

    o y o no lo entiendo!!!

    podeis aclarame algo

  57. pseudopodo dijo:

    Tomás, la constante es la misma si la forma del triángulo es la misma (es decir, si son triángulos semejantes, como lo son en el caso del dibujo). Haz la prueba…

  58. jduith rodriguez campo dijo:

    pitagoras es difisil incomtral tu dibujo pero tu historia es mu chebre

  59. juaan dijo:

    a mi no me queda claro eso de: Sc = Sa + Sb

  60. juaan dijo:

    me lo podria alguien explicar porfavor

  61. no entiendo porque no te lo explican bien

  62. Pingback: El Teorema de Pitágoras « El Ábaco de Madera

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