Una paradoja fractal

En el post anterior decía sin dar mayores explicaciones que “en el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal”. Esto significa simplemente que si hacemos una fotocopia ampliada en un factor 2 (“al 200%”), en la copia las longitudes se habrán multiplicado por 2 y las áreas por 22=4. En general, si la escala se multiplica por x, las longitudes se multiplican por x, las áreas por x2 y los volúmenes por x3.

Esta sencilla receta de escalado parece obvia. Sin embargo, si entendemos la “dimensión lineal” como “el perímetro” la cosa puede complicarse inesperadamente. Vean si no esta figura:

island

Cada unos de los siete “hexágonos” es en realidad un fractal llamado Isla de Gosper. La isla puede recubrir el plano, formando una teselación, como aquí se ve.

El “hexágono” grande es semejante a cada uno de los pequeños (es una versión ampliada de la misma figura) y contiene siete de éstos, así que obviamente su área es siete veces mayor. Esperaríamos entonces que su perímetro fuera \sqrt{7} \approx 2.64575 veces mayor. Y en realidad, el “diámetro” del hexágono grande es el de uno pequeño multiplicado por ese factor de ampliación (puede comprobarse aproximadamente con una regla, imprimiendo la hoja).

Sin embargo, si inspeccionamos con cuidado la figura, veremos que el perímetro es exactamente tres veces mayor. Es decir, que si llamamos P al perímetro de la isla grande y p al de una pequeña,

P = p \cdot 3

¿Cómo es esto posible? Porque la receta obvia de escalado no funciona en los fractales. Cuando a un fractal se le aplica un factor de ampliación x, su longitud se multiplica por xd, dónde d, la “dimensión” del fractal, es un número no entero.

El perímetro de la isla tiene una dimensión d \approx 1.12915. Algo intermedio entre una línea (dimensión 1) y una superficie (dimensión 2). Y por tanto,

P=p x^d \approx p {(\sqrt{7})}^{1.12915} \approx p \cdot 3

(De nuevo, he encontrado el ejemplo en el magnífico libro de Schroeder Fractals, Chaos, Power Laws).

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6 respuestas a Una paradoja fractal

  1. Ramon dijo:

    Hola,

    me he entretenido un rato con este interesante post sobre fractales y he llegado a un par de conclusiones, a ver si me las podeis confirmar:

    1-La ley de que para figuras semejantes a doble perimetro , cuatro veces más area se cumple siempre y sin excepción.

    2-Los fractales son un caso de falsa figura semejante. Aunque el post diga que el hexagono mayor y cualquiera de sus siete partes son semejantes, sólo lo son en sentido de “parecidos” pero no en sentido matemático. El hexagono compuesto tiene, por hablar llanamente, el perimetro más “arrugado” que el que tendría una estricta ampliación x7 de una de sus partes, de ahí que tenga más longitud. Y claro, si cambiamos la forma de una figura ya no tiene porque mantener la relación area-perimetro, pero eso es trampa. De ahí la paradoja.

    saludos cordiales

  2. Juan Paulus dijo:

    Qué pena que sea de letras 😦

  3. pseudopodo dijo:

    Hola, Ramón. Veo que le has dado vueltas al asunto y te has dado cuenta de que en el dibujo la figura grande no es exactamente semejante a las pequeñas. Como bien dices, tiene el perímetro más “arrugado” y eso resuelve la paradoja. Tienes razón, pero no acaba ahí la cosa.

    Los fractales suelen construirse aplicando repetidamente una transformación a una figura. En este caso, se parte de un hexágono y se cambia cada lado por una línea quebrada formada por tres tramos rectos (lo puedes ver pinchando en el enlace “Isla de Gosper” arriba) Así tendríamos una figura de “1ª generación”. Repetimos el proceso con cada tramo recto y tenemos la figura de 2ª generación, y así sucesivamente. En la figura de arriba, los “hexágonos” pequeños son de 3ª generación, y el grande es de 4ª. En cada generación, el perímetro está más arrugado (más “fracturado”, de ahí viene el nombre).

    Pero resulta que ninguna de estas figuras es el auténtico fractal. Sólo son aproximaciones; el fractal de verdad sólo se consigue en el límite de infinitas generaciones. Para esa figura ya no se cumple tu punto (1), en su lugar, se cunple lo que yo digo en el post (el perímetro crece como x^d, siendo d=1.129…, y el área crece como x^2). Para las figuras aproximadas del dibujo sí se cumple tu punto (1), y es correcta tu explicación (2)

    Juan Paulus, este blog no es de letras ni de ciencias… en este post hay alguna ecuación, pero lo fundamental son las ideas. A lo mejor el comentario de Ramón y mi respuesta aquí aclaran un poco la cuestión. Eso es lo bueno de los blogs, la realimentación. En cualquier caso, espero que te interese lo que se cuece por aquí.

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