Cómo calcular el área del círculo (y cómo no explicarlo)

Empecemos por una cosa evidente: todos los círculos son iguales. Por eso todos tienen que tener la misma proporción entre su circunferencia L y su radio r. Vamos a llamar a esa proporción 2 \pi y vamos a suponerla conocida (¿por qué la llamamos así? pues…¡porque de alguna manera hay que llamarla!). Ahora la pregunta es: sabiendo que L= 2\pi \cdot r, ¿cual es el área del círculo?

Este problema no es el de la cuadratura del círculo, pero se le parece, y quizá por eso en el Renacimiento muchos artistas, fascinados por la geometría pero sin una auténtica cultura clásica, le dieron muchas vueltas (nunca mejor dicho).

Uno de esos artistas fue Leonardo da Vinci. Así lo cuenta Fritjof Capra en La ciencia de Leonardo [p266]:

Dividió el círculo en una cantidad de sectores, subdivididos a su vez en un triángulo y un pequeño segmento circular. Estos sectores son luego reordenados de tal manera que formen aproximadamente un rectángulo cuyo lado menor sea igual al radio del círculo (r ) y el mayor igual a la mitad de su circunferencia (L/2 =\pi r). A medida que este procedimiento se lleva a cabo con un mayor número de triángulos, la figura tenderá a un verdadero rectángulo con una superficie igual a la del círculo. En la actualidad, escribiríamos así la fórmula de la superficie: A = r \frac{L}{2} = r^2 \pi

¿Lo han entendido? Apuesto que no: a no ser que uno ya se sepa el truco, sin un dibujo esto no hay quien lo entienda. Pero con un rato de reflexión quizá sí alguien haya quien dé con ello, así que les aviso: están a tiempo de pensarlo antes de seguir leyendo y ver la preciosa figura siguiente, que se explica por sí misma…

¿Verdad que es una idea bonita?

Pero no hace falta un gif animado para explicar esto. Bastaría con un esquema estático de los sectores circulares que se reordenan para formar un casi-rectángulo. O ni siquiera: a Capra le hubiera bastado explicar, para hacerse entender,  que cada sector es casi un triángulo y por eso su área es (casi)  base·altura/2, siendo la altura igual al radio del círculo. El área total es la suma de todas estas áreas parciales:

A = \frac{b_1 h}{2} + \frac{b_2 h}{2} + \cdots + \frac{b_n h}{2} = \frac{h}{2} (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \approx \frac{r L}{2} = \pi r^2

donde al final hemos usado que la altura es el radio y la suma de las bases es (casi) la circunferencia. Cuando el número de sectores tiende a infinito los “casi” desaparecen y tenemos la fórmula exacta.

Capra embarulla aún más el asunto porque a continuación dice que Leonardo propuso “un segundo método original para la cuadratura del círculo”:

Una vez más, divide el círculo en muchos sectores pequeños, pero luego -tal vez estimulado por su captación intuitiva del proceso de tendencia al límite del primer método-, se circunscribe a desplegar la semicircunferencia en una línea recta y construir el rectángulo correspondiene, cuyo lado menor es igual al radio. Llega a sí a la fórmula correcta, que atribuye acertadamente a Arquímedes.

Esta explicación es notable por varios motivos:

(1) Se entiende menos aún que la anterior.
(2) De hecho, no se ve cual es la diferecia entre este método y el anterior.
(3) Deberían haberle puesto una multa por emplear la expresión “se circunscribe” en sentido figurado en este contexto
(4) ¡Leonardo no está cuadrando el círculo!

Finalmente, hay una pega más básica. Capra ha dicho un poco antes que la idea de Leonardo es notable por usar la idea intuitiva de límite, mientras que “los matemáticos griegos, sin excepción, huían de los números y los procesos infinitos, y en consecuencia fueron incapaces de formular el concepto matemático de límite”. Bueno, pues no es verdad. Hay excepciones, y una de ellas notabilísima: Arquímedes, que precisamente así encontró el área del círculo. Capra debería saberlo. Y si resulta que Leonardo conocía la fórmula, ¿no conocería también el procedimiento que usó Arquímedes? Al menos, habría que explicarlo, igual que habría que explicar también si el elegante procedimiento gráfico que aquí hemos visto lo descubrió realmente Leonardo o se remonta también al genio de Siracusa (eso tenía yo entendido, pero no he podido confirmarlo).

Por cierto, la figura la he sacado de este magnífico artículo de la wikipedia. Que explica además que, si alguien no queda convencido, siempre puede calcular el área del círculo tirando dardos…

\frac{\pi}{4} \approx \frac{709}{900}

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20 respuestas a Cómo calcular el área del círculo (y cómo no explicarlo)

  1. pytoche dijo:

    Wow! ahora quisiera hacer una aplicación web o en Excel para comprobar esto!

  2. g2-2f4b46fc38ea6e686de02924c72414ea dijo:

    Es cierto que las explicaciones son oscuras, pero en la parte de lo que es una cuadratura creo que estas equivocado, me parece que se ha llamado siempre cuadratura (y cubatura, etc) al problema de calcular la superficie (volumen, etc) de una figura, independientemente de que se haga con regla y compas, con medios mecanicos o con calculo de limites. En cuanto al calculo de limites, lo que ocurre con los griegos es que lo aceptan para conjeturar el resultado pero no para demostrarlo. Asi, el volumen de una piramide se conoce via un metodo de limites e indivisibles (como Cavalieri) que usaba Democrito, pero la validez de ese volumen se demuestra de forma mas complicada en los Elementos.

  3. g2-2f4b46fc38ea6e686de02924c72414ea dijo:

    Capra tiene el problema de que entiende las ideas pero luego tiene algun overflow en el chip de empatia, ese que a todos nos hace razonar que los otros han hecho tal o cual cosa por este u otro motivo.

  4. renegm dijo:

    No eres justo con Capra. Si lo leyeras con cuidado notarías que está demostrando que Leonardo conocía el teorema fundamental del calculo sobre variedades:
    «La integral de una forma en sobre una variedad es igual a la integral de su primitiva sobre la frontera»
    En el caso actual (pi*r^2)’=2*pi*r
    Capra intenta explicarlo en lenguaje didáctico pero lamentablemente él no es Punset. 😛

  5. loiayirga dijo:

    g2-2f4b46fc38ea6e686de02924c72414ea,

    Para ahorrarle trabajo a Pseudópodo te copio de la wikipedia esto:

    Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado, solo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas.

    La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.

    Aunque seguramente él tendrá algo que añadir.

  6. Folks dijo:

    Leyendo la primera explicación lo que había entendido antes de ver el .gif era:
    Divides el sacas el cuadrado (4 triángulos) inscrito en la circunferencia. Con los elementos curvos sacar un par de triángulos de dentro y te quedan otras 3 curvas. A esas curvas… Una especie de exhación a lo bestia, vaya.

    Fascinante.

  7. pseudópodo dijo:

    pitoche, comprobar lo de los dardos, supongo, que lo del .gif es inapelable…¿no?

    r2-d2, digo g2-2f4…. 😉 : el significado clásico de cuadratura es el que dice loiayirga, aunque se puede usar en general con el sentido de “calcular el área” sin el requisito de usar sólo regla y compás… pero cuando se habla de la “cuadratura del círculo” siempre se hace en el sentido clásico, por eso le criticaba yo a Capra: Leonardo no pudo “cuadrar el círculo” en el sentido que siempre se ha dado a esa expresión porque tal cosa es imposible. Lo que dices de los límites en los griegos es verdad, pero tampoco me parece que haya que dar un mérito especial por ello a Leonardo, porque él tampoco los usaba rigurosamente; en realidad, su idea para “cuadrar” (digámoslo así) el círculo seguro que la conocía Arquímedes, sólo que no lo consideraba una demostración sino sólo un método heurístico.

    renegm: no le des ideas a Punset que cualquier día se nos presenta con un libro sobre Leonardo (que naturalmente fue un pionero del en-tre-laza-miento cuántico) 🙂

    Folks: quod erat demonstrandum: ¡no se entiende”

  8. guajiro dijo:

    Cuatro apostillas:
    1- O’Connor reporta que Arquímedes emplea la espiral para la cuadratura.
    http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Squaring_the_circle.html
    “To square the circle Archimedes gives the following construction. Let P be the point on the spiral when it has completed one turn. Let the tangent at P cut the line perpendicular to OP at T. Then Archimedes proves in Proposition 19 of On spirals that OT is the length of the circumference of the circle with radius OP. Now it may not be clear that this is solved the problem of squaring the circle but Archimedes had already proved as the first proposition of Measurement of the circle that the area of a circle is equal to a right-angled triangle having the two shorter sides equal to the radius of the circle and the circumference of the circle. So the area of the circle with radius OP is equal to the area of the triangle OPT”

    2- Ribnikov,en su “Historia de la Matemáticas”, eleva el tratamiento arquimédico a niveles superiores:
    “Los pasos al límite, que antes se realizaban, frecuentemente, en virtud de de consideraciones intuitivas y prácticas, obtuvieron en el método de la exhaustatión la primera formalización teórica…”

    Creo lo mismo que tú. Después de haber perfeccionado el método de la exhaustión hasta integrar triangularmente la parábola, después de elegir el cilindro y la esfera inscrita como epitafio, es muy difícil dejar de imaginar que no haya concebido el método que estás analizando.
    Quizás lo consideró sólo una construcción carente de suficiente rigor, quizás se perdió en la historia… Es prudente recordar que sólo se han conservado un puñado de sus cartas.
    Hermoso sería que algún historiador de la mate nos echara un cabo.

    3- Leonardo no tiene una formación formal, sus demostraciones son “mecánicas”, pero no se le puede negar una originalidad fuera de serie… Hay una demostración del teorema de Pitágoras a él atribuida que siempre me ha resultado fascinante… El otro asunto es saber hasta dónde son confiables las fuentes que pululan por la literatura… y la web. La historia siempre es una fábula comentada.

    4- Muy interesante el enorme paralelismo epistémico entre la forma que analizas, triangulación del círculo, y la tradicional del cálculo integral como suma infinita de elementos 2πrdr. (Ver a Pelayo García Sierra en http://www.filosofia.org/filomat/df217.htm

    Ambos son ejemplos magníficos de análisis y síntesis, de concurrencia y convergencia de formas superiores de razonamiento humano. Lo que funciona, como en la historia natural de las especies, se replica.

  9. pseudópodo dijo:

    Magnífico comentario, Guajiro, gracias. Listísimo Arquímedes, que hasta sabía calcular la tangente a una espiral… Y efectivamente muy elegante la demostración de Leonardo; le he dedicado un post, que se lo merece…

  10. No es que me quiera querar con la perra gorda, pero… ¿no notais una contradiccion entre el comentario a de O’Connor a Arquimedes, donde claramente se usa el termino cuadratura sin obligaciones, y el insistir en que la regla y compas es el sentido que “siempre se ha dado a esa expresion”? Y resulta que tambien se ha empleado de siempre “cuadraturas de Newton-Cotes” para referirse al area numerica, y que un texto de Newton sobre el calculo exacto de las integrales de areas simples se llama, tachan, “Introductio ad Quadraturam Curvarum”.
    Como Newton estaba mas cercano temporalmente a Leonardo que nosotros, no creo que este empleando incorrectamente la expresion. Es plenamente consciente de que su metodo se sale de los axiomas de euclides. Quadratura dentro de Euclides obliga a regla y compas, que viene a ser es una foma divulgativa de decir “con los postulados de la geometria plana” (http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge )

    ¿De donde viene el que “cuadratura del circulo” tenga hoy en dia el significado de “cuadratura del circulo con los postulados de geometria plana de Euclides”? Leyendo en http://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle la seccion Claims_of_circle_squaring.2C_and_the_longitude_problem, parece que del siglo XVIII y del famoso problema del calculo de la longitud. Podria ser.

    Como decia antes, me llama incluso más la atencion el problema del volumen de la piramide, donde no hay ningun numero trascendente por el medio, y la demostracion de la validez de la formula se puede hacer por metodos admisibles a Euclides, pero en cambio el calculo de la formula necesita limites. Vease el tercer problema de Hilbert: Given any two polyhedra of equal volume, is it always possible to cut the first into finitely many polyhedral pieces which can be reassembled to yield the second?

  11. Pingback: Cómo calcular el área del círculo (y cómo no explicarlo)

  12. Javier dijo:

    La primera frase del artículo es falsa:

    “Empecemos por una cosa evidente: todos los círculos son iguales. Por eso todos tienen que tener la misma proporción entre su circunferencia y su radio “.

    Lo que sucede es que la tienes asumida, interiorizada desde tu más tierna infancia, y claro, lo das por hecho, o como “cosa evidente”. [¡Mucho cuidado con las “cosas evidentes”!…].

    Puedes ilustrarte al respecto en el libro:

    “Arquímedes y los orígenes del cálculo integral”
    Pedro Miguel González Urbaneja
    ISBN: 978-84-96566-98-9

    Me parece un blog estupendo; he llegado al mismo via Alexander Grothendieck. Como curiosidad, otro sabio que desapareció : E Majorana (físico). ¿Se sabe algo nuevo al respecto?. Un saludo, symplectyc (Barcelona).

  13. pseudópodo dijo:

    Gracias, Javier-symplectyc, pero ¿por qué es falsa la frase? (a no ser que te refieras a que deja de ser cierta si el círculo no está en un plano sino en una superficie con curvatura no nula…)

    Lo de Majorana es fascinante, pero no sé gran cosa. Tengo un libro de Sciascia, “La scomparsa di Majorana“, que parece muy interesante pero (todavía) no lo he leído

    • Javier dijo:

      Gracias por tu comentario, pseudópodo.
      Lo que tú (y prácticamente todo el mundo….) toma como evidente, lo sería desde un punto de vista topológico, pero está claro que se trata de una propiedad, un invariante métrico, y por lo tanto no se puede dar por supuesto que es un invariante sin demostrarlo.
      Arquímedes se toma la molestia (es decir, ve que es necesario lógicamente) de demostrar que efectivamente dicha relación (Pi) es independiente del tamaño del círculo. Lo puedes ver en el magnífico libro (que te recomiendo de todas maneras) de Miguel González Urbaneja.
      Todo esto sin salirnos del plano.

      Muchas gracias por la recomendación del libro sobre Majorana. Voy a buscarlo ahora mismo!.
      Un saludo, Javier.

  14. liliana vazhaz dijo:

    w.t.f qe es esa mierda

  15. Javier Symplectyc dijo:

    Repito: sin salirnos del plano, y por favor véase el libro de González Urbaneja, donde se observa que “Arquímedes se toma la molestia (es decir, ve que es necesario lógicamente) de demostrar que efectivamente dicha relación (Pi) es independiente del tamaño del círculo. ” [nada de que “es obvio”… una de las frases más letales de la escritura matemática…] Javier Symplectyc

  16. Roberto dijo:

    En una ocasión me vi en la tesitura de explicar a un jovencito en qué consistía la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia.
    Le dije: si coges cualquier circunferencia, la que sea, cortas la línea de la circunferencia con unas tijeras invisibles, estiras la línea curva hasta convertirla en un segmento, y divides la medida de su longitud por la medida de su diámetro, siempre te dará el mismo número. Jamás encontrarás un caso en el que no se cumpla.

    Y que esto se dé así, siempre, sin que se produzca un solo caso en el que no, es lo que hace que tal situación sea un hecho extraordinario.

    De repente, noté que la cara del chaval se iluminaba, que se sonreía, y me quedó muy claro que lo acababa de introducir en la poesía matemática.

    Explicarle a continuación el porqué de la fórmula del área de un círculo fue aún más sencillo.

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