¿Hay algo más evidente que una superficie (2D) tiene más puntos que una línea (1D)?
Pues en unas pocas líneas lo evidente va a ser lo contrario: vamos a demostrar que en un cuadrado hay tantos puntos como en uno de sus lados. Sí, ha leído bien: en un cuadrado hay tantos puntos como en uno de sus lados.
Un punto cualquiera, P, tendrá coordenadas x e y. Si tomamos como unidad de medida el lado del cuadrado, su valor estará comprendido entre 0 y 1. Sea por ejemplo:
x = 0.4190055…
y = 0.6727843…
Construimos ahora un nuevo número real entre 0 y 1 intercalando los decimales de x y los de y:
q = 0.46179207085453…
Este número designa unívocamente un punto sobre la base del cuadrado.
Recíprocamente, a partir de la expresión decimal de cualquier punto q sobre la base del cuadrado podemos obtener dos números x e y (entresacando las cifras en posición impar y par, respectivamente) que son las coordenadas de un punto en el cuadrado.
Como tenemos una correspondencia biunívoca entre los puntos del interior y los puntos de la base, es evidente que ambos tienen el mismo número de puntos.
* * *
Bueno, quizá la palabra no sea evidente… Este resultado lo estableció Georg Cantor en 1877. La primera vez que oí hablar de Cantor fue en primero de carrera, cuando el profesor de Cálculo nos contó su demostración de que hay tantos números naturales como números racionales (fracciones). Aquello me dejó pasmado, pero esto me parece más asombroso aún. Parece que incluso el propio Cantor escribió a Dedekind diciendo: lo veo pero no lo creo. Esta demostración, sencillísima, la he encontrado aquí.
Pseudópodo 
«Como tenemos una correspondencia biunívoca entre los puntos del interior y los puntos de la base, es evidente que ambos tienen el mismo número de puntos.»
¿Es evidente?
No. Todo lo que la matemática permite demostrar es que puede establecerse esa correspondencia binunívoca: cada punto del cuadrado puede ponerse en correspondencia biunívoca con un punto del segmento. Eso es todo. Que «tengan el mismo número de puntos» implica aceptar de entrada que un cuadrado tenga «un número de puntos» determinado, lo cual -evidentemente- es falso. Si nos ponemos en estrictos, tenemos que hablar del concepto de «cardinal», que es un concepto de la matemática, y que sólo se corresponde al concepto de «cantidad de objetos reales», que maneja el hombre común, si nos restringimos a cardinales finitos.
Claro que, en su plano (matemático), el hecho de que pueda encontrarse esa correspondencia y esa igualdad de cardinalidad puede resultarnos (o no) asombroso. Pero:
1. No es más asombroso que el hecho de que entre dos puntos siempre haya otro, (no hace falta Cantor) o de que una segmento «tenga tantos puntos» como su mitad, o de que los naturales mayores a 10 «sean tantos como» todos los naturales (hotel de Hilbert).
2. Es sofístico mezclar los planos del lenguaje para asombrar con paradojas aparentes (una de las falacias más antiguas). El universo de la matemática (y más específicamente el de la matemática no finitista) es eso: un universo.
3. Me fastidia -me parece signo de superficialidad filosófica- la suposición de que al lograr expresar una paradoja del mundo real dentro del lenguaje (claro y presuntamente consistente) de la matemática hemos logrado «explicar» aquella paradoja. Suficiencia típica de los divulgadores matemáticos, que dan por sentado, por ejemplo, que entender la fórmula de la serie geométrica equivale a poner (por fin!) en claro lo que Zenón tenía oscuro.
De paso, esta correspondencia entre puntos del cuadrado y del segmento unitario es fácil de entender pero no es muy elegante que digamos; y tiene el pequeño (salvable) problema de los desarrollos que terminan en 999.., y es una correspondencia «fea», discontinua. La curva de Hilbert es más compleja de entender, pero da una correspondencia continua; lo cual es más asombroso, y más lindo.
Dos comentarios de un «lego» perplejo:
a) El infinito es la negación de toda medición. Por eso entre el 1 y el infinito hay la misma distancia que entre el 99.999.999.999.999 y el infinito. Y por eso también puedo asumir que en un cuadrado hay tantos puntos como en uno de sus lados.
b) Hay tantos números naturales como racionales: por eso la liebre nunca alcanza a la tortuga… Es otra vez el infinito, pero ahora DENTRO de cada número natural.
Bonita e interesante entrada. Pseudópodo, ya que citas a Dedekind no estaría de más recordar que el pobre tuvo bastante paciencia con las inestabilidades mentales de Cantor, como se deduce de la lectura de sus cartas que aparecen en el volumen editado por Crítica.
A mí, más que hablar de matemáticas me apetecía comentar las tremendas implicaciones físicas (y derivadas de ellas las metafísicas, más interesantes si cabe) que tendría considerar infinitos reales en el universo (universo infinito, tiempo infinito con estados accesibles finitos, etc), y más si cabe en el contexto de eso que llaman multiverso. Pero casi que no me atrevo…
Hernán, yo que quería descansar de polémicas con un post que no tuviera nada que ver con la religión… y tú me quieres expulsar del paraíso de Cantor 🙂
Efectivamente, habría que hablar de cardinales, pero “cardinal” no es más que una formalización de “número de elementos de un conjunto”, me parece que no hacemos ninguna violencia al concepto. No creo que sea sofístico, las paradojas del infinito siguen ahí, y no creo que las hayamos “explicado” por formularlas con precisión o por delinearlas mejor, y no digo eso en el post. Creo que sigue siendo igual de raro que haya tantos números positivos como enteros, o que haya, como decía Feynman, “twice as many numbers as numbers” (esto lo recordaba el hijo de Hans Bethe, que lo aprendió con el “tío Dick”, no con su padre).
Sin embargo, no me parece igual de asombroso que entre dos números reales (o puntos) haya siempre otro. Al menos no es intuitivamente asombroso, aunque pueda llegar a serlo si se reflexiona sobre ello (no es raro que Dedekind se entendiera bien con Cantor… Instan, no conocía ese libro, pero sí sabía de los problemas mentales de Cantor).
Y aquí va la hermosa curva de Hilbert (si alguien a bordo se marea, la quito…):
Miguel, lo de las distancias entre 1 e infinito y entre 9999… e infinito sí se pude captar intuitivamente como dices, pero no es nada evidente que haya tantos puntos en el cuadrado como en el lado. Por ejemplo, hay infinitos números fraccionarios pero no son tantos (ni mucho menos) como los números reales (sin embargo, son tantos como los enteros). Descubrir que había infinitos de “distintos tamaños” fue quizá el logro más sorprendente de Cantor, y muchos no lo aceptaron en su momento.
Lo de la liebre y la tortuga… tengo que darle la razón a Hernán aquí: pensamos que lo entendemos cuando nos lo enseñan en el bachillerato, pero es más sutil de lo que parece.
Instan, lo del infinito actual en física… creo que me desborda. ¿Hay quien haya especulado con esto seriamente?
Afortunadamente lo que en matemáticas se denomina «infinito real» no puede corresponder a nada físico (experimentable). Claro que si se te antoja puedes razonar filosóficamente a partir del concepto, pero con cuidado de no tomártelo en serio, peligra tu salud mental. No juegues a la ruleta rusa…
> un post que no tuviera nada que ver con la religión
Pues mala elección. Las discusiones sobre el infinito (matemático) son religiosas 🙂
> no me parece igual de asombroso que entre dos números reales (o puntos) haya siempre otro
Me parece que es lo mismo en términos de los planos (matemática, realidad) , y en cuanto al grado de asombro, pues eso, es una cuestión de grado. Que a los que tenemos entrenamiento matemático eso nos resulte «natural», es pura cuestión de entrenamiento mental. Recuerdo que una vez, charlando con un amigo, culto e inteligente él, pero sin cabeza matemática, solté esa obvia afirmación al pasar (entre dos puntos, siempre hay otro) y, para mi asombro, quedó muy asombrado, no podía aceptarlo.
> una formalización de “número de elementos de un conjunto”, me parece que no hacemos ninguna violencia al concepto.
si incluimos la noción de cardinales infinitos, yo creo que sí hacemos violencia.
Hacer afirmaciones matemáticas que incluyen el infinito (concepto que incluso algunos matemáticos -finitistas- repudian) como si se aplicaran a nuestro mundo es, para mí, un sofisma.
Es verdad que parece que intuitivamente en un cuadrado hay más puntos que en un segmento pero si partes de que en un segmento hay infinitos puntos (dato que conozco por lo de Aquiles y la tortuga) ya no le veo problema a que haya el mismo número de puntos: infinitos.
Ahora me cuentas que hay INFINITOS DE DISTINTOS TAMAÑOS. Algo había oído. Los reales son más que los racionales. Ya sé que las raíces no se corresponden con ningún número racional, están digamos entre dos números decimales. Pero si partimos de que los números racionales son infinitos no sé porque no podemos asignar a cada número real uno racional.
Cójanse todos los números reales y numérense (je je). Asignemos a cada uno un número entero.
Hágase lo mismo con los racionales.
Hágase ahora la equivalencia entre ambos.
Si hacemos esto uno por uno desde el principio (je je) no creo que haya problema. El único problema es que iremos gastando más números racionales que reales (en realidad iremos gastando exactamente el mismo número) o dicho de otro modo, a medida que lo vayamos haciendo, cada vez nos quedarán menos racionales que reales. Quizás esto nos llevaría a pensar que no vamos a poder hacer la correspondencia biunívoca pero SOLO ES CUESTIÓN DE PACIENCIA. Recuérdese que los números racionales son infinitos, no se nos acabarán nunca, aunque que pensemos que cada vez tenemos más reales sin su equivalente es un espejismo.
¿Al final no se podrá hacer la correspondencia?
No hay problema porque no hay final. Podemos seguirla haciendo infinitamente.
¿Nadie nombra los hoteles de infinitas habitaciones? Supongo que está relacionado con esto. ¿No? http://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert
En mi comentario algún «porque» debería ser «por qué»
Sorry.
No puedo pensar en los infinitos y además en la ortografía.
Bueno, en realidad no pienso nunca demasiado en la ortografía.
Digamos que mis faltas de ortografía tienden a infinito.
Este tipo de posts son discusiones de barra de bar para matemáticos, como se ha podido ver. Los demás nos quedamos un poco perplejos… No es una queja, sólo una mera constatación.
Lo que no entiendo es por qué los matemáticos no perciben que juegan a Wittgenstein, es decir, juegan con un lenguaje artificial (el lóogico, el matemático, etc) para aproximarse a una realidad que el ser humano construye con un lenguaje «natural» -el lenguaje, cuyas correspondencias sólo son aproximadas en lo general y siempre idénticas en lo particular (he aquí el problema de la identidad (y vale aplicar el concepto matemático de identidad para entenderlo)-..
Esa es la paradoja que el matemático no comprende.
Pero no deja de ser entretenido observarles jugar, como a los niños.
(¿un poco pedante, tal vez? Pues así me suena a mí a veces el juego que se traen los matemáticos; «ahora vamos a demostrar…»)
saludos
Al final va a ser que el infinito no es el número, sino el NO NÚMERO. Por eso digo que arrasa con todas las mediciones y con todas las distancias. El infinito es la locura de los números, lo que los hace modestos. Tan modestos como útiles.
La verdad no está en los números. Los números no son capaces de «contar» la verdad, porque jamás llegan al final, por definición. El infinito es la enmienda a la totalidad de todas las progresiones. Dichoso infinito, ese punto de fuga que no nos deja instalarnos.
Naturalmente, hablo de poesía, algo tan, tan cercano a las matemáticas cuando se desenfrenan.
En mi opinión, ajeno al mundo de las matemáticas que presumo apasionantes, hay cierto problema general de comprensión del concepto de infinito, problema del que veo que no se libran ni las personas de ciencias, y que creo que @Josele ha percibido en esta entrada. Y, en mi opinión, que es a lo que iba, lo que le pasa al infinito es que todo el mundo piensa que es un concepto de «cantidad» pero a mí me parece que no lo es en absoluto. Infinito es cualquier cosa menos cantidad (no quiero decir que no pueda considerarse un número, siempre y cuando se pueda operar con él, supongo). Infinito es bien una propiedad o condición.
Quizá valga como definición «propiedad de lo que no tiene límite» pero intuitivamente mí me parece que de nuevo conduce a pensar en cantidad, así pues, creo que si consideramos mejor «propiedad de lo que limita consigo mismo» se nos resuelven muchos problemas que adjudicamos a la compresión del infinito. Y además está implícito en su moebiusesco símbolo. ¿He dicho alguna barbaridad?
Bueno, sólo tengo un minutillo y lo voy a aprovechar para explicar a loiayirga que su método no funciona: hay otra preciosa demostración de Cantor, el argumento de la diagonal, que muestra que no se pueden poner en correspondencia los números enteros con los reales entre 0 y 1 ( y por tanto con todos los reales). No he encotrado ninguna explicación que me guste demasiado, pero aquí está la de la wikipedia, y esta otra no está mal…
A los demás, gracias por la poesía 🙂 … y sólo un par de cosas: (a) Wittgenstein estaba con Josele y no soportaba a Cantor (a mi, sin embargo, me parece fascinante) (b) Para Alejo: “propiedad de lo que no tiene límite” es la definición clásica, pero “propiedad de lo que limita consigo mismo” no lo entiendo bien…
«Wittgenstein estaba con Josele y no soportaba a Cantor (a mi, sin embargo, me parece fascinante)»
Ehmmm, yo estoy con Josele y lo de Cantor me parece fascinante. Espero que esto no implique que mi mente es inconsistente 🙂
Perdón pero hay un equívoco; No sé si Wittgenstein estaba con Josele, pero yo no tengo nada contra Cantor, y sí contra Wittgenstein; a mí también me molan los juegos estos de barra de bar, por eso vengo a este bar; pero estaría bien que, además de jugar, los matemáticos -y físicos- cayeran en que lenguaje artificial (maths, physics) y la realidad construida con lenguaje son dos cosas distintas, e inconmensurables.
ya.
donde digo «cayeran» léase «se tomaran en serio», porque las consecuencias de hacerlo serían relevantes.
En teoría de conjuntos hay un par de definiciones de conjunto infinito. Una es de tipo inductivo: añadir cosas sin fin a un conjunto lo convertirá en infinito.
La más elegante es la siguiente: un conjunto es infinito cuando tiene el mismo número de elementos que un subconjunto suyo. Se entiende que el caso trivial (subconjunto y conjunto son el mismo) no cuenta.
Se puede demostrar que las dos definiciones son equivalentes, según un teorema (creo recordar) de Dedekind.
Pero desde luego la segunda es la que más se parece a la idea de Alejo ¿no?
Citaré:
«La estrategia de estas clases, de hecho, se había anunciado en las primeras clases sobre estética cuando, al abordar la Prueba Diagonal de Cantor, expresó cuánto la aborrecía y su opinión de que sólo el «hechizo» de tales demostraciones era lo que les daba interés. Dijo:
Al tratarse de las matemáticas…parece incortrovertible que eso le da un hechizo aún mayor. Si explicamos todo lo que rodea a la expresión, veremos que la cosa podría haberse expresado de una manera completamewnte distinta. Puedo expresarlo de un modo en el que perderá su hechizo para un gran número de personas y ciertamente perderá su hechizo para mí.
El matemático Hilbert había dicho una vez «Nadie va a expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado». «Yo diría, dijo Wittgenstein a sus alumnos que «ni se me pasaría por la cabeza intenar sacar a alguien de ese paraíso. Haría algo bastante distinto: intentaría mostrar que no es un paraíso, de manera que pudiera abandonarse por voluntad propia. Diría. Bienvenido a esto, simplemente mira a tu alrededor»
(R. Monk: Ludwig Wittgenstein. El deber de un genio. Anagrama 1994, p.381)
Curiosamente (o no) esas clases fueron luego publicadas como Lectures and Conversations on Aesthetics and Religious Belief así que de nuevo estamos dentro de lo religioso.
Y también de lo estético, el gran Erwin Panofsky, historiador de Arte casi coetáneo de L.W nos dice en su memorable «Los primitivos flamencos»:
«El mismo concepto de infinito repugnaba en cierto modo a la mente clásica (Porque el mal es una forma de lo ilimitado y el bien de lo limitado, por citar un aforismo pitagórico respaldado por Aristóteles) y donde se aceptaba parecía contradecir el principio de continuidad…Deja a los matemáticos el derecho a estipular la infinitud de los nñumeros y cantidades geométricas pero no admitirá la infinitud en el mundo de la física. Así pues hasta el espacio universal es finito y además se diferencia del espacio ocupado por los cuerpos individuales (p. 19)
Fin de las citas. Luego digo yo ¿3D=2D=1D? porque lo matemático nos lleva a lo estético, lo filosófico, lo religioso…y en cada argumento están todos los argumentos y hay el mismo número de puntos en una entrada que en todo el blog o en todo el libro infinito de Borges que en una de sus páginas o líneas o palabras o…
Don Pseudo, no sabía que «propiedad de lo que no tiene límite» fuera definición clásica cuando la puse, parece que se suele hablar más de «cantidades sin fin» o «tamaños sin fin» y esto es lo que veo que no funciona, lingüísticamente hablando (o mejor dicho, fuera de las matemáticas) y genera aparentes paradojas que no lo son.
Voy a intentar explicar mi definición «propiedad de lo que limita consigo mismo” que quizá es una aplicación apresurada de la navaja de Ockham por mi parte: imagino un universo bidimensional. Es un universo plano. Naturalmente plano quiere decir que si tuviera algún cambio de curvatura o algo así, dicho cambio sólo podría percibirse bajo la condición de una tercera dimensión (un radio de curvatura, o quizá una variable de tiempo, no lo sé). Entonces saco la navaja y pienso que ese universo, que es totalmente plano, visto desde una dimensión añadida podría ser perfectamente la superficie de una esfera. Pues ya lo tengo, ése universo plano es infinito (se prologa en cualquier dirección de forma continua, ilimitada) ¡pero no porque existan unos hipotéticos límites inalcanzablemente lejos (cantidad, tamaño, etc)! sino porque «limita» consigo mismo.
Igual he hecho un poco de trampa y además habré dicho una barbaridad, o dos.
Por cierto, al hilo de esto, se me ha ocurrido una imagen muy sugerente: en este universo plano (que ya sabemos que es la superficie de la esfera) colocamos dos observadores de dos dimensiones (dos pegatinas, vamos), ocupando lo que nosotros sabemos que son los dos polos de la esfera. Es curioso darse cuenta de que sea cual sea la dirección en que el observador 1 mire al 2, siempre lo verá. Lo verá como una línea de horizonte (en realidad todo lo que ve). Si el observador es único, se verá a sí mismo continuamente. En ese universo plano un puñado de puntos que se alejan entre sí son un puñado de puntos que se acercan… etc. Muy divertido ¿no?
A mí los problemas me surgen al considerar el infinito como un número al que se le pueden aplicar operaciones como a los demás. Por ejemplo: » infinito + k = infinito » (dónde «k» es un número real) … creo que ahí se mezclan churras con merinas…
Por otro lado, y retomando el tema de la aplicación del infinito al Universo..(y es sólo una intuición de «barra de bar», desde luego): no me es posible imaginar un Universo que no sea infinito. Si me imagino un universo finito,me implica una forma(una esfera, un toroide, lo que se quiera…); si hay una forma entonces debe haber un límite entre la forma y lo que limita con esa forma, y eso que limita ya es algo diferente de ese universo inicial…y así ad infinitum (nunca mejor dicho..).
No, en realidad no se mezclan. Si aplicamos las reglas de cálculo adecuadas.
En la teoría de conjuntos no existe ninguna otra cosa que … ¡conjuntos! Incluso los números son conjuntos. Cada número el conjunto que tiene tantos elementos como el número. Por ejemplo «4» es el conjunto de cuatro elementos {0, 1, 2, 3} y el primer número infinito sería el conjunto de los números naturales que tiene infinitos elementos, pero ningún otro conjunto infinito es menor que él.
Y las operaciones se definen, también, en términos conjuntistas. O sea, aplicando uniones, intersecciones y demás a los números considerados como conjuntos.
La gracia del asunto es que este punto de vista permite definir unas reglas de cálculo para definir la suma, multiplicación, exponentes, etc… Que se comportan de la manera habitual cuando los números son finitos (o sea: representan conjuntos finitos) Pero a la vez, se pueden aplicar también a conjuntos infinitos (o sea: a números infinitos) Y es en este dominio de los números infinitos (y sólo en este dominio) cuando empiezan a hacer «cosas raras». Pero son «cosas raras» bastante lógicas si las trasladas a su significado conjuntista.
En fin, siento no poder poner un ejemplo práctico de, digamos, una suma. Pero es que en matemáticas (y más en teoría de conjuntos) el demonio está en los detalles. Y necesitaría escribir un (pequeño) paper para expresarlo como Dios manda.
Si tienes curiosidad, puedes probar con alguno de los libros de Carlos Iborra. Están bastante bien, y son gratis. Pero ¡ojo! no son fáciles.
Gracias Carlos por la explicación y la recomendación. No lo había pensado desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Seguramente debería leer alguno de los libros que dices, para ampliar conocimientos y captar mejor tu propuesta. También creo que mi «error» está en querer buscar(imaginar) siempre un ejemplo de algo matemático en el mundo real, cuando las matemáticas se bastan ellas solitas sin necesidad de que el mundo que experimentamos físicamente las apoye..(más bien sería al revés, no?)
Y hablando de recomendaciones, les recomiendo este cómic que leí el año pasado:
http://www.entrecomics.com/?p=60339
Sí, dije un cómic…ya se que puede parecer raro. Es un cómic de divulgación para adultos. En este caso trata el desarrollo de la lógica y otros aspectos de las matemáticas en la primera mitad del siglo XX narrado por el bueno de Bertrand Russell. En vez de Tintín o Astérix, los personajes que aparecen son muchos de los que han citado por aquí: Cantor, Hilbert, Witgenstein y muchos más. Además, el tema del infinito es recurrente a lo largo del libro…y también la relación de los lógicos con la locura, aunque esa es otra historia quizás más novelesca.Otro tema interesante: la lucha soterrada entre matemáticos y filósofos. Sorprende también el rigor y la claridad con las que son expuestas estas ideas, unas ideas sobre las que bien poco me enseñaron en la escuela, bachillerato o universidad…
Bueno, pues eso, un libro interesante especialmente para legos y curiosos pero también muy útil, pienso yo, para que profesionales, profesores de matemáticas lo recomienden a sus alumnos.
En mi opinión aparece un problema previo al intentar aprehender el concepto de número real, probablemente porque la sombra que de él se da en el bachillerato/secundaria es parcialmente equívoca. Para que lectores que no hayan conocido el concepto «verdadero» de número real (sea como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales, sea como cortaduras de Dedekind, sea-gasp- la construcción axiomática…) vean una paradoja más adecuada, quizás sería interesante comentar la correspondencia que se da entre números naturales y cuadrados, o cualquier subconjunto infinito de los naturales. Ahí la frase «tienen el mismo número de puntos/elementos» pierde el significado del lenguaje natural, pasa a ser una metáfora.
Sobre algunas implicaciones de un universo infinito:
Haz clic para acceder a ellis_infuniv_1979QJRAS.pdf
Algunos de los artículos que lo citan en el google scholar, también tratan estas cuestiones. Aunque que sea un tratamiento serio de ellas, sería mucho decir, si entendemos serio por algo más que juegos malabares conceptuales.
Hola Pseudópodo,
El post me recordo uno de Pedro de El tamiz (http://eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/).
Se trata de una aproximación al concepto de infinito a traves de la historia de varios matemáticos.
Recomendable.
Hay un montón de aportaciones interesantes y tengo que ser breve, así que:
Para josele y Hernán: ya queda más clara vuestra postura. Me parece que contesté demasiado rápido…
Dadá: bienvenido y gracias por los comentarios. Alguna vez había caído por la página de Ivorra, pero no había apreciado su magnitud: ¡todavía existen los enciclopedistas, y trabajando gratis! Seguro que a este hombre le miran mal en su departamento… pero ese es otro tema.
Una referencia que no está mal, muy básica, sobre la teoría de conjuntos y los nºs transfinitos, en inglés, es esta. Y por cierto (gracias, hebustetram, no lo conocía) el post de El Tamiz es espléndido como divulgación… (para Coquejj: esta es una buena referencia para las paradojas más básicas que mencionas…)
Trilobites, tu problema con un universo no infinito es que te lo imaginas “inmerso” en otro de dimensión superior. Pero podrías imaginarte la superficie de una esfera, por ejemplo (un espacio finito pero sin límites), como tal, sin estar metida en un espacio 3D: como la percibirían unos paramecios que se arrastraran por la superficie. Al fin y al cabo, tu eres un “paramecio” en un espacio 3D y no te imaginas el espacio 3D metido en un espacio 4D, ¿no? Si no tienes esa necesidad, tampoco la deberías tener para un espacio 2D.
En realidad, si pensaras en un plano, seguramente no se te plantearía la cuestión. El problema, supongo, viene con una esfera, un toro, etc, porque parece que para estar curvados tienen que estar inmersos en un espacio de dimensión superior. Esto, por cierto, es lo que dice Alejo: ”Naturalmente plano quiere decir que si tuviera algún cambio de curvatura o algo así, dicho cambio sólo podría percibirse bajo la condición de una tercera dimensión”. Pero esto NO es cierto: hay un resultado que lleva el merecido nombre de Theorema Egregium de Gauss que dice precisamente que los paramecios pueden averiguar que viven en una esfera sin saber de ella.
Siguiendo con lo que dice Alejo: creo que ya entiendo lo que dices, pero como ves, no se puede pensar que ese universo, que es totalmente plano, visto desde una dimensión añadida podría ser perfectamente la superficie de una esfera: has sacado la navaja demasiado deprisa. Sin embargo, tu idea me recuerda mucho a la proyección estereográfica: cada punto de la esfera se une con el polo norte, y la recta así definida corta el plano del ecuador en un punto. Así cada punto de la esfera se corresponde unívocamente con un punto en el plano, salvo el polo norte… que se corresponde con el infinito. Una idea preciosa:
En lo que no hay problema es en imaginar un universo como el análogo tridimensional de la esfera, y entonces ocurriría lo que tú dices. Tu «imagen sugerente» es precisamene un ejemplo de las cosas que podrían hacer los paramecios para darse cuenta de que no viven en un plano sino en un espacio que se cierra sobre sí mismo.
Instan, gracias por la referencia. A ver si entiendo algo.
Ah, y muchas gracias al Dr.J, las citas son muy interesantes. El libro de Monk lo leí hace no demasiado, pero no recordaba la cita, lo que sí recordaba es que por una vez no estaba de acuerdo con el gran Ludwig…
Yo tengo mis dudas de que la curva de Hilbert demuestre que el cardinal de RXR sea igual que el de R. En todo caso, que el de QxQ y el de Q son iguales. Y esto último es bastante obvio por ser contables.
Un saludo.
Pero, ¿cuál es la duda exactamente? Es decir, ¿qué es lo que crees que falla en la construcción de la curva?
(Si te apetece)
Porque, si no falla nada, es una función suprayectiva de un segmento en el cuadrado, lo que nos dice que el cardinal del cuadrado es como máximo el del segmento.
Yo no digo que falle nada en la curva. Sólo que no equipara el cardinal de RxR con el de R (o el de (0,1)x(0,1) con el de (0,infinito)). Por muchos pasos que se dé en su construcción, la curva, nunca coge puntos (x,y) donde x e y no pertenecen a Q a la vez. O sea, que no da una biyección entre R y RxR.
La analogía es coger un segmento, el (0,1), y empezar a coger puntos, 1/n. Supuestamente, cuando n tiende a infinito, los puntos cubren el segmento (igual que la curva el cuadrado), pero eso no prueba que el cardinal de R sea igual que el de N o Q.
Un saludo.
«Por muchos pasos que se dé en su construcción, la curva, nunca coge puntos (x,y) donde x e y no pertenecen a Q a la vez.»
Una cosa es cada una de las aproximaciones y otra el límite, el hecho de que ninguna de las aproximaciones sea una biyección no quiere decir que el límite tampoco lo sea. Lo cual es lógico, porque si las aproximaciones ya fueran biyecciones, entonces no haría falta usar aproximaciones para encontrar la biyección 🙂
«La analogía es coger un segmento, el (0,1), y empezar a coger puntos, 1/n. Supuestamente, cuando n tiende a infinito, los puntos cubren el segmento»
No, la analogía es que ninguno de los puntos 1/n es menor o igual que 0, y sin embargo su límite sí lo es. O sea, que una sucesión de objetos sin una propiedad puede tener como límite un objeto que sí tenga esa propiedad.
«O sea, que una sucesión de objetos sin una propiedad puede tener como límite un objeto que sí tenga esa propiedad.» Pero es más claro todavía que una sucesión de objetos sin una propiedad pueden dar como límite un objeto que tampoco tenga esa propiedad. Es decir, que de una sucesión de curvas de hilbert que no establecen biyección con (0,1)x(0,1) el límite puede que sí o puede que no establezca una biyección con (0,1)x(0,1). Yo sólo pido esa biyección, es decir, no basta con decir, he aquí la curva, que no da biyección mientras no cubre el cuadrado; en el límite sí cubre el cuadrado y sí da biyección. Porque ése es el meollo de la cuestión, la biyección, no que cubra o no cubra el cuadrado en el límite, como pongo de manifiesto en la analogía, ahora corregida más abajo.
Es obvio que si el límite de la curva de Hilbert es el cuadrado hay biyección (entre algo y sí mismo), pero es obvio que ya no hay curva. En este caso también aplica la propiedad que me explica tan generosamente: el que los objetos de la sucesión sean de dimensión 1 no hace que el límite lo sea, que de hecho es de dimensión 2. Pero al establecer una biyección entre el límite de las curvas y el cuadrado, la establecemos entre un subconjunto de RxR y otro subconjunto de RxR (que es él mismo), no entre R y RxR.
Lo de la analogía lo expresé mal. La analogía es pasar del cuadrado y la curva Hilbert al segmento y una nube puntos. Por ejemplo, coger los números entre 0 y 1 distantes entre sí 1/n, a partir del cero; cuando n tiende a infinito, la nube de puntos cubre el segmento igual que la curva de Hilbert cubre el cuadrado, pero no demuestra que el cardinal de N sea igual que el de R (de igual forma que la curva no demuestra que R tenga el cardinal de RxR). De hecho, no lo es.
No obstante, esto es lo bueno de las matemáticas, no hace falta discutir nada. Basta con dar la biyección entre (0,1)x(0,1) y R que se obtiene gracias la curva. Cuando la vea, se me irán las dudas. Por ejemplo, qué número de la curva, en el límite, se corresponde con (1/e, 1/e) [no sé por qué, me temo que es infinito, como el de (1,0) o el de cualquier otro número que no sea (0,1))
Muchas gracias y un cordial saludo.
«[no sé por qué, me temo que es infinito, como el de (1,0) o el de cualquier otro número que no sea (0,1))»
debería ser
[no sé por qué, me temo que es infinito, como el de (1,1) o el de cualquier otro número que no sea (0,0)], suponiendo un cuadrado de diagonal (0,0) a (1,1) y un curva de Hilbert que en el límite va de (0,0) a (1,0).
Un saludo.
«Yo sólo pido esa biyección, es decir, no basta con decir, he aquí la curva, que no da biyección mientras no cubre el cuadrado; en el límite sí cubre el cuadrado y sí da biyección.»
No, si me parece una actitud fantástica, si todo el mundo la tuviera nos iría mejor…
Voy a decirte cómo encontraría un punto x en [0,1] cuya imagen por la curva de Hilbert sea (1/e,1/e). Puedes seguir la idea con los gráficos que aparecen en esta entrada:
http://matesmates.wordpress.com/2012/03/29/la-curva-de-hilbert/
Primero cojo la aproximación 1. Es decir, divido el cuadrado en 4 y hago la 1ª curva uniendo los centros. Busco en qué cuadrado está el punto (1/e,1/e), que sería el de abajo a la izquierda. Me pregunto: ¿qué proporción de la longitud de la curva hay desde el inicio hasta el centro de ese cuadrado? Miro el dibujo y digo: la tercera parte. Pues defino un punto x1=1/3.
(SIGO, no me deja escribir más)
(Perdón por el retraso, he tenido unos alumnos en tutorías.)
Ahora cojo la aproximacion 2. Divido cada cuadrado pequeño en 4 y repito el esquema de unir los centros. Busco el cuadrado que contiene el (1/e,1/e), que es el que va de (0’25,0’25) a (0’5,0’5). ¿Qué proporción de la aproximación 2 hay que recorrer para llegar al centro de ese cuadrado? Siete quinceavos (siete de los quince tramos de la misma longitud que forman la aproximación). Pues pongo x2=7/15=0’4667.
Ahora cojo la aproximación 3. Me sale x3=29/63=0’4603.
Así formo una sucesión xn. Esa sucesión converge a un valor x, y la curva de Hilbert asigna el punto (1/e,1/e) a x.
Ahora me puedes decir: ¿y cómo sé yo que converge a algo? La idea intuitiva es doble:
1) En cada paso vas cogiendo un cuadrado más pequeño y el único punto que está en todos los cuadrados es (1/e,1/e). La corrección que haces en cada paso dentro del cuadrado es más pequeña cada vez, porque los cuadrados son cada vez más pequeños.
(SIGO)
2) Fuera del cuadrado en el que estás en un determinado paso, la proporción de curva que queda antes y después de ese cuadrado se mantiene prácticamente constante. (Por ejemplo, cogemos el cuadrado superior izquierdo de la primera división en 4; para ir hacia (1/e,1/e) hemos tenido que salir de ese cuadrado para pasar al inferior; si miras el gráfico del paso 2 y del paso 3 verás que la proporción de curva que hay que recorrer para salir de ese cuadrado es casi exactamente la cuarta parte.)
Bueno, de esto último no sé si se ha entendido algo. Más bien creo que no.
Muchas gracias. Ahora veo la idea. No la veía porque me fijaba en la longitud total de la curva, no en la proporción de la misma.
En cualquier caso, vuelvo a que no sé qué aporta la curva de Hilbert. En definitiva estamos dividiendo el cuadrado en cuadrículas, establecer un orden de recorrido de las mismas, y ver en qué cuadrícula de todas cae el punto en cuestión -(1/e, 1/e) en este caso-. Supongo que la curva de hilbert asegura la convergencia y otro orden tal vez no, pero lo tengo que ver. Pero tengo el problema de que lo intuitivo no me vale, y, lo formal seguramente se me escape.
En cualquier caso, muchas gracias y un saludo.
Finalmente parece que no hay biyección.
«A finales del siglo XIX Cantor intentaba encontrar un conjunto infinito de un número de elementos mayor que el intervalo [0, 1]. Parecía obvio que el cuadadro de lado unidad poseía más puntos. Pero de forma contraintuitiva demostró que eran conjuntos del mismo «tamaño». Se disponía entonces de una manera de establecer una biyección entre los puntos de un segmento y un cuadrado, aunque esta función no era continua. Otros matemáticos como Giuseppe Peano y Hilbert desarrollaron funciones continuas del intervalo [0, 1] al cuadrado unidad de modo que se establecieran correspondencias exhaustivas (hay puntos en el cuadrado unidad que poseen más de una imagen en el intervalo unidad), es decir, perdiendo la biyección. Tales funciones se denominaron curvas que llenan el espacio (space-filling curves). ¿Existían correspondencias continuas y biyectivas? ¿Si fuera así el concepto de dimensión quedaría en entredicho?
En 1911 Luitzen Brouwer probó que no existen tales correspondencias, biyectivas y continuas al mismo tiempo. La dimensión era un invariante topológico y no podía ser alterada por deformaciones continuas. Como resultado se llegó a una definición rigurosa de dimensión topológica del espacio. Como veremos en el siguiente capítulo otra línea de razonamiento llevó a otras definiciones de dimensión.»
De «http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/4.html»
Un saludo. Ha sido muy interesante.
Efectivamente, no hay biyección, pero el que haya una suprayección ya garantiza que el cardinal de RxR es como mucho el de R (o que RxR es biyectivo con un subconjunto de R, como se quiera ver).
Un saludo.
Ya que estamos, tampoco es tan obvio que QxQ sea equipotente a Q. O sea, para productos cartesianos con un número finito de factores sí es obvio, peeeero…. ¿qué pasa si el producto cartesiano incluye un número infinito de factores (QxQxQx….)?
Con esta clase de construcciones aparentemente inocuas hay grandes sorpresas. Por ejemplo la afirmación «el producto cartesiano de un número arbitrario de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío» resulta que es ¡equivalente al axioma de elección!
Y confiar en que el axioma de elección es «verdad» te va a obligar a tragar con verdaderos monstruos matemáticos como la paradoja de Banach-Tarski.
Es que mi mente no da para productos cartesianos que incluyen un número infinito de factores. Solo para productos cartesianos con un número, n, finito de factores, pudiendo ser n tan grande como se quiera. Y para estos, es obvio, creo (perdón por la contradicción).
Un saludo.
Es más, ahora que lo pienso lo que parece fácil de ver es que no tienen el mismo cardinal N que NxNxN…. (si A son los naturales del 0 al 9, AxAxA… es mayor que N) y por tanto lo mismo aplica para Q y QxQxQxQx….
Un saludo.
Esta entrada me remite inevitablemente a «El libro de arena» de Borges. Maravilloso.
Loiayirga, conocía el relato pero no me acordé de él. Es una aproximación muy sugerente a la idea de infinito. Para mi los relatos de Borges son siempre sugerentes, aunque muchas veces no sé si van más allá. Desde luego este está muy bien.
Gracias, pseudópodo, por querer enseñarme un poco de matemáticas pero es una tarea un poco dificil. Algo creo haber entendido del concepto de NUMERABLE. Gracias.
Donde dice Loiayirga quise decir Cristina. Mi egocentrismo no tiene límite.
A mi la demostración que me fascinó fue la de, después de demostrar que el infinito del continuo es «más infinito» que el de los numerables, ver que sin embargo sí que puedes establecer una biyección entre el infinito del continuo y el de las partes del infinito numerable ==> «Tienen el mismo tamaño»
Don Pseu, no puedo rebatir mediante conceptos matemáticos, pero el theoroma egregium, no trata de lo mismo, porque se refiere a curvaturas de las superficies, esto quiere decir que este teorema solo es válido desde el espacio tridimensional, donde damos por sentado cierto sentido «topológico». Efectivamente, bastarían una serie de mediciones para constatar que si un habitante del mundo bidimensional, puesto a caminar en «línea recta», ha regresado a su punto de partida al cabo de «x» desplazamiento, ese mundo bidimensional se corresponde con una curvatura de radio el que sea, por ejemplo. Si se trata de ésto, lo que veo es que efectivamente sí que basta que las mediciones se efectúen sobre la superficie para poder determinar la curvatura ¡lo que no demuestra que dicha curvatura «exista» dentro de las dos dimensiones!
Por simplificar (quitando una dimensión), si un ser unidimensional se mueve, solo puede hacerlo en un signo o en otro opuesto (hacia adelante o hacia atrás) nunca «más hacia la izquierda o hacia la derecha», es decir, que la línea como objeto unidimensional no es «aún» ni recta ni curva. Si el observador que se desplaza por ella ha vuelto a su lugar de origen sin haber cambiado el signo de su desplazamiento (ni su velocidad…) podremos decir (desde una dimensión más) que la línea era un anillo. Cuando la velocidad del observador es baja la línea tiende a recta (es decir lo «recto -como lo plano- son límites, son ideas de infinitud).
Por eso sí me gusta ese ejemplo que trae de la proyección estereográfica, que yo leo a la inversa… pensamos que el horizonte está lejos y es infinitamente ancho pero es solo un punto sobre nuestra cabezas en una dimensión añadida).
Me he creado la imagen (y me cuesta desprenderme de ella) de que toda línea que consideramos recta en el espacio tridimensional, es en realidad un anillo puesto que sus extremos limitarían entre sí. Nunca podremos experimentar el recorrido completo del anillo dado que su radio está condicionado a nuestra velocidad de desplazamiento. Mayor velocidad, es mayor el radio, o sea que mayor longitud para completar. Para mí esto define que cosa es el infinito «geométricamente» hablando, condición o propiedad, no tamaño ni catidad.
En cuanto a su faceta «matemática», aunque se trate de lo mismo se me escapa del lenguaje. Decir que entre el 0,1 y el 0,11 hay infinita cantidad de infinitos me resulta tan fácilmente aceptable como decir que entre la vocal «a» y la «e» hay infinitas vocales… al fin y al cabo mediremos esas frecuencias con números…
…lo he escrito un poco sin revisar, y encuentro que he dejado más de una frase imprecisa y/o errónea… por ejemplo lo de «limitarían entre sí», realmente quiere expresar mera continuidad. Y la frase «Cuando la velocidad del observador es baja la línea tiende a recta» merece más que una revisión… es del todo imprecisa. Creo que tiene que ver con una visión relativista del espacio, pero me encuentro que es como querer acercarse a Pushkin sin hablar ruso…
Buena publicación… Que bueno que existen personas preocupadas por difundir estos pequeños detalles de la matemática que suelen ser sorprendentes… Felicidades y sobre todo gracias!!!
Cristina, había leído ese relato hace un montón de tiempo y no recordaba que la idea era, en realidad, que el libro de arena es un libro en el que las páginas son como los números reales en vez de como los números naturales… Por cierto, nunca pensé que a Borges se le pudiera convertir en telefilm 🙂 , pero no está mal el video que has colgado…
loiayirga, ya sabes que estoy a tu disposición en innumerables ocasiones…
Folks, aunque sea con retraso, ¿tienes algún enlace en el que venga esa demostración? No recuerdo ninguna sencilla…
Alejo, es que en realidad el teorema de Gauss lo que dice es que podemos averiguar que una superficie está curvada en un punto realizando medidas locales en el entorno de ese punto… no hace falta recorrer todo el espacio sin cambiar de dirección y volver al mismo punto. De hecho, si coges un folio y lo enrollas formando un tubo, en esa superficie la curvatura gaussiana sería cero, lo que significa que el paramecio que vive sobre el folio no podría detectar que se ha curvado (con medidas locales, que son las únicas que puede hacer un paramecio 😉 ). Podríamos decir que el tubo está curvado “globalmente” pero no localmente; en cierto sentido, el tubo sigue siendo un plano, sólo que enrollado. Sin embargo, una curvatura como la de la esfera sí es detectable por el paramecio: la esfera tiene curvatura gaussiana distinta de cero, y esto tiene relación con que no podemos “desenrollar” la esfera para convertirla en un plano.
Bueno, espero que no suene a ruso, la verdad es que es difícil de explicar, y además hace muchos años que estudié estas cosas…
A los demás: icosaedro, Dadá, fidgalo: gracias por los comentarios.
Gracias por la explicación Don Pseudo, muy gráfica. Iba a poner un ejemplo creo que más adecuado y, por largo, lo simplifiqué erróneamente en este de la vuelta completa. El original era que una esfera es posible caminar x metros y girar 90º, caminar los mismos metros y de nuevo girar 90º y entonces estar en el punto de partida en vez de a x metros de distancia del origen (que sería el resultado en un plano… y en un cilindro). Si esta suposición no es válida, es que no lo he entendido.
Creo que cuando hablamos de plano (2D) o línea (1D) estamos siempre condicionando el resultado desde una inevitable proyección de una dimensión sobre otra (como cuando se conjungan verbos) y no podemos dejar de proyectarlo finalmente todo sobre el espacio 3D que es el único del que tenemos verdadera intuición. Y me temo que es un error, quizá imposible de esquivar.
Con más retraso todavía (1 mes en este caso):
Capítulo 5.5 de La Saga de los Números (Antonio Córdoba, ed. Crítica) la demostración de que el continuo es «más grande» que infinito numerable.
La demostración de que P(IN) es equipotente a IR no la he encontrado en el libro (o no he buscado bien) pero se puede establecer una biyección. E.g:
En base 2:
P(IN) –> [0,1) en IR
A ——->f(A), siendo f() la función que pone un 1 en la posición en la que aparezca cada elemento de A
Es bastante burdo, pero cubre todo el rango de combinaciones de reales en [0,1) y es invertible.
Entiendo que lo del paramecio y el plano, o historias como la del delicioso librito «Planilandia» de Edwin A. Abbott, son un recurso útil para describir aspectos de las matemáticas, en este caso el concepto de la relación entre dimensiones.
Sin embargo, si nos fijamos en el mundo físico, no existen seres vivos de dos dimensiones(no se pueden detectar): por más finos que sean, siempre tendrán un espesor, así como seres de sólo una dimensión que deberán tener un grosor también. Es decir, siempre tienen 3 dimensiones.De la misma forma se podría decir que no existen lineas rectas o superficies planas en el mundo real, pues si las miramos al microscopio veremos aparecer ahí las montañas del Himalaya…
En realidad, como seres vivos, no podemos huir de las 3 dimensiones espaciales, así lo veo.
Me pregunto si es posible la vida dentro de espacios de una o dos dimensiones, o de más de 3 dimensiones y si realmente tiene sentido plantearse tal existencia.
Coincido con Hernán: «Las discusiones sobre el infinito (matemático) son religiosas». Si llegáramos a entender el concepto de infinito, intuyo que caerían todos los demás velos.