[50 libros] #36 El teorema de Gödel, de Ernest Nagel y James R. Newman

Logicomix es muy bonito, pero después de leerlo uno se queda con ganas de saber qué dice realmente el teorema de Gödel, y entonces toca hincar los codos.

En realidad, yo lo sabía. Al menos podía enunciarlo: en todo sistema formal que sea consistente (libre de contradicciones) se podrán formular enunciados que es imposible demostrar ni refutar, es decir, que son indecidibles (al menos, si el sistema es suficientemente amplio como para formular la aritmética).

Sabía también (y me lo había recordado muy bien Logicomix) la repercusión que esto tuvo en las matemáticas y en la filosofía (o en la filosofía de las matemáticas). La pretensión de ponerlas sobre una base firme, convirtiendo las demostraciones en un proceso formal, sin sombra de incertidumbre, tan automático que podría hacerlo un ordenador, estaba condenada al fracaso. Salvo en los casos más triviales, las redes de la formalización dejaban siempre teoremas sin pescar. Y lo más impresionante es que Gödel demostró esta indemostrabilidad.

Sí, pero ¿cómo? Ah, eso ya es otro cantar. ¿Cómo demonios se puede demostrar eso? No es nada fácil hacerlo, y uno está tentado de decir que explicarlo es imposible. Pero no es así, y la prueba es que existe este libro.

El teorema de Gödel se titula en el original Gödel’s proof, y es justo eso: una explicación de la demostración de Gödel. El libro es un clásico que viene reeditándose desde 1958. Nagel es el autor del monumental La estructura de la ciencia, y Newman del delicioso Matemáticas e imaginación. Aquí unen sus fuerzas para explicar en 120 páginas, con letra grande, lo que Gödel demostró y cómo lo demostró. Y lo consiguen con un nivel matemático que puede entender cualquiera que haya estudiado el bachillerato.

No es, claro está, una lectura fácil. Al libro no le sobra una palabra, pero tampoco le falta (la traducción es impecable, por cierto). Hay que leerlo con mucha atención, y, sobre todo al final, varias veces. Pero merece la pena.

Eso sí, haber acompañado a Gödel hasta su cumbre de abstracción vertiginosa no significa que uno recuerde el camino ni lo sepa explicar. Yo había leído este libro hacía algo más de diez años, y no recordaba casi nada. Ahora, un mes y pico después de haberlo releído, aunque lógicamente recuerdo mucho más se me han evaporado los detalles (que es donde está, precisamente, la gracia del libro). Como pasa a veces con los sueños, se queda uno con la desazón de que ha tocado algo trascendente pero inasible, algo de lo que al despertar sólo nos queda una sombra y una sensación de pérdida. Algo a lo que habría que volver más veces, por distinto caminos, para empezar a poseerlo.

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18 respuestas a [50 libros] #36 El teorema de Gödel, de Ernest Nagel y James R. Newman

  1. Instan dijo:

    Estoy completamente de acuerdo, es un libro imprescindible si se quiere entender cómo se demuestra el dichoso teorema. A mí me pasó exactamente lo mismo, en lo que a la memoria sobre el texto se refiere. En su momento lo leí, lo entendí todo perfectamente, pero con el paso del tiempo se me olvidó el camino que recorre para llegar al resultado. Y no creo que sea culpa de la estructura del libro, o de su complejidad.

    Debe ser cosa de la sutileza de algunas cuestiones que tienden a escaparse sutilmente de la memoria, pues algo parecido me pasó no hace mucho cuando leía sobre al doctrina de las emanaciones de Plotino…

  2. Asdf dijo:

    Otro posible camino es el libro de Smullyan http://www.amazon.com/Godels-Incompleteness-Theorems-Oxford-Guides/dp/0195046722

    Una cosa interesante sobre Gödel que la gente no suele saber es que escribió al final de su vida un argumento para demostrar la existencia de Dios basado en el ontológico de San Anselmo.

    Saludos

    • bloodykefka dijo:

      ¿Sabes donde se puede mirar ese argumento? Yo opino que dedicarse a argumentar algo que no se basa en la razón sino en lo que deseas me parece una pérdida de tiempo y algo innecesario. Sin embargo, me gustaría ver si aporta algo nuevo a la conversación.

  3. Miguel dijo:

    No voy a leer el libro, porque no creo que pueda disfrutar haciéndolo (hace lustros que olvidé todo lo aprendido de matemáticas, y sólo voy recordando lo que van estudiando mis hijos, que sólo llegan a 2º ESO). Pero me gusta la descripción de haces de lo que te quedó de su lectura. Es genial: Gödel te ha demostrado que hay enunciados que no se pueden demostrar ni rebatir, y tú lo has comprendido, o quizás lo has soñado meticulosamente, aunque no lo recuerdas. Me encanta.

  4. MadHatter dijo:

    Habría que matizar el tercer párrafo. Respecto a la fundamentación de las matemáticas hay tres escuelas bien diferenciadas: El logicismo, que cree poder fundar las matemáticas en la lógica, y que asumen como Biblia la obra de Russell y Whitehead “Principia Mathematica”. La escuela axiomática liderada por Hilbert, matemático que, si no recuerdo mal, llegó a ser profesor de Gödel. Finalmente, el intuicionismo liderado por Brouwer y desarrollado por Griss. Esta última escuela es la más desconocida y, ciertamente, lo único que puedo decir al respecto es que atacan los problemas derivados del trabajo de Cantor negando el principio de tercio excluso e, inclusive, la negación. Pues bien, no por nada Gödel titula a su célebre artículo: “Sobre proposiciones formalmente indecibles de los “Principia Mathematica” y sistemas afines”. Su trabajo es un atentado que termina con el desarrollo de las dos escuelas antes citadas, pero, por lo que tengo entendido, en nada afecta al intuicionismo.

    • Dadá dijo:

      Sí, es cierto que el intuicionismo no es uno de los “sistemas afines”. Pero tiene sus propios problemas, que son casi peores.

      Sólo conceden existencia a los objetos matemáticos “constructibles” y, como dices, niegan el principio del tercio excluso. O sea, que nada de demostraciones por “reducción al absurdo” ni de hablar de cosas que no se puedan definir por inducción.

      Pero es que, claro, esto es mucho renunciar. No hay infinitos. Y todos los teoremas que sólo se puedan demostrar por “reducción al absurdo” hay que tacharlos de la lista. Y, ¡eh! ¡Eso son casi todas las matemáticas conocidas!

      De hecho, Brouwer, que demostró el Teorema del punto fijo que lleva su nombre, lo hizo en primer lugar usando métodos convencionales. Y luego, tuvo que rehacer la demostración (un esfuerzo titánico) para que encajara en su filosofía. Se da la circunstancia de que, durante un tiempo, ¡la persona que había descubierto uno de los teoremas más importantes de las matemáticas era, también, el único que no creía en su validez!

      Así que la cosa, a mi entender, es elegir un bando: ¿Renunciamos a prácticamente todo lo que conocemos a cambio de la satisfacción moral de que nuestras matemáticas son “buenas”? ¿O aceptamos, con Gödel, que las cosas son endiabladamente complicadas y acabamos por relativizarlo todo?

  5. pseudópodo dijo:

    Instan, gracias por tu comentario: yo a veces pienso, en casos así, que me voy haciendo viejo… pero no debe ser eso si a ti te ha pasado lo mismo.

    De verdad que tiene algo de irritante el teorema, yo creo que es algo tan alejado de nuestra manera normal de pensar que nos falta un esquema para situarnos, un plano mental; vamos siguiendo los pasos de Nagel y Newman como quien va por el monte sin levantar la vista del sendero y cuando hemos llegado a la cumbre no nos lo creemos. Tendríamos que vagar mucho por el terreno para movernos con algo de soltura. Tengo pendiente darme unos paseos con el Gödel, Escher, Bach de Hofstadter, que dejé a la mitad hace muchos años, pero tomo nota del libro de Smullyan, no lo conocía, pero seguro que está muy bien siendo suyo.

    Por cierto, Asdf, no sabía eso en concreto de Gödel, pero sí cité aquí una idea suya que tiene algo que ver y que a mí me gusta mucho…

    Miguel, en justa reciprocidad a tus elogios, tengo que recomendar tu penúltimo post, que me gustó mucho y no encontré un rato para comentar… yo también he tenido a veces esa sensación que dices.

    MadHatter, yo diría que Hilbert estaba en el mismo bando que Russell y Whitehead, sólo difería en el formalismo, pero el programa de axiomatizar la matemática lo compartía. Lo de Brouwer es verdad que sí es otra cosa, pero pienso como Dadá (aunque creo que sé menos que él de esto): si nos ponemos tan exquisitos con lo que aceptamos como prueba, nos quedamos sin demostración para la mayor parte de las matemáticas. No sé si quedan matemáticos intuicionistas hoy en día…

  6. Vicente dijo:

    Tengo el libro que usted menciona “Gödel, Escher, Bach” de Hofstadter. ¿Sabe alguien si en él se explica este teorema de forma inteligible? Así me ahorraría comprar el que es objeto de este post

  7. pseudópodo dijo:

    …mmm, realmente no sé: yo leí la mitad y no había llegado al Teorema; pero es un libro espléndido y una buena guía, creo yo, para todo el “terreno” gödeliano. En cualquier caso, yo me compraría el libro de Nagel y Newman, vale la pena.

  8. josele dijo:

    Buenas

    El Sr. Pseudopodo dice; “podía enunciarlo: en todo sistema formal que sea consistente (libre de contradicciones) se podrán formular enunciados que es imposible demostrar ni refutar, es decir, que son indecidibles (al menos, si el sistema es suficientemente amplio como para formular la aritmética).”

    Me voy a meter en un jardín, pero a ver qué tal (pido correcciones, por favor).

    Primero, tu enunciación está mal; “se podrán formular enunciados que es imposible” no es castellano; si son enunciados, en plural, no puedes usar el verbo siguiente en 3ª persona del singular. Aclárate (aclaranos).

    Segundo, ese “consistente”, hasta donde mis recuerdos del castellano llegan, no equivale a “coherente”; ¿estás seguro de que no usas el equivalente a “coherente” en inglés -i.e., consistent-? De ser así, ¿afecta a tu enunciado, es decir, hay sistemas formales no coherentes?

    Tercero, después de consultar qué es un sistema formal en wikipedia -asumo críticas- me da la sensación de que mi presuposición de que (a=a) es un sistema formal “godeliano” puede ser correcta. De ser así, Gödel no tengo yo pa mí que mu claro que haya hecho mucho más que Peirce o Saussure, pero en vez de aplicado a la lingüística, al llamarlo “sistema formal” y aplicarlo a las matemáticas, pues como que parece algo.

    Ya, es bastante pedante decir eso aquí, pero así de primeras…

    ¿Cómo se sale de este jardín?

    Saludos

    • josele dijo:

      ¿ves como me ha cambiado el dinujito ese, al meter otro correo? No es la IP, hombre, mira más cosas este trasto.

    • Dadá dijo:

      Mmm… Bueno, es que (a=a) no es un sistema formal. Es una tautología que puede aparecer en un sistema formal.

      Se necesita algo más que símbolos y una relación de igualdad para formar un sistema formal del tipo de los que maneja la lógica. Hay que aportar una lista de reglas de formación de expresiones, una lista de axiomas que se llaman no-lógicos (por ejemplo, modus ponens) y, finalmente, los axiomas propios del ámbito que aporta el significado a los símbolos del sistema.

      Sobre todo eso, en conjunto, es sobre lo que se aplica el teorema de Gödel. Y lo que afirma es que un sistema con la suficiente expresividad como para formar un modelo de la aritmética (o sea, que incluya alguna versión equivalente a los axiomas de Peano ) si es consistente entonces es incompleto. O sea, que si está libre de contradicciones (así que sí: “coherente” puede ser sinónimo de “consistente”. Pero por tradición, en matemáticas se dice “consistente”), entonces alberga una afirmación que es posible formular (y que tiene un valor de certeza o falsedad) pero que no es posible demostrar usando sólo las reglas del sistema.

      La referencia a la “aritmética de Peano” parece un poco excéntrica. Pero tiene sentido, porque en la época en que Gödel demostró el teorema, se habían probado algunos teoremas de consistencia relativa. Por ejemplo, Hilbert, había demostrado que la geometría sería consistente en caso de que la aritmética fuera un sistema formal consistente.

      Lamentablemente, lo que desconozco en absoluto son los trabajos de Peirce o Saussare. Así que no puedo opinar sobre si tienen el mismo alcance que la lógica formal.

      Pero estaría muy bien que los explicaras, aunque sea un resumen.

      • josele dijo:

        Dadá, gracias por sacarme del jardín. Asumo entonces que un sistema formal es más de lo que entendí -pero me gustaría entender cómo se construyen; ya, un cursito en Filosofía o en Matemáticas y ya está-.

        Bonito eso que dices de la tradición para usar consistente en vez de coherente. Vale.

        Queda pendiente la precisión del enunciado y la pregunta sobre si hay sistemas formales no consistentes.

        Y bueno, de los de la lingüística, pues nada, es muy largo para decir poco más que que el lenguaje termina siendo una herramienta que usamos para construirnos, pero que en tanto que construida -paradójico, ¿verdad?- es paradójica. O sea, que no es física, sino metafísica. Y que siempre está en el lugar de las cosas, pero al no ser las cosas, está limitada.

        Es útil para entender, pero en tanto en cuanto sus “leyes” están formalizadas, se autocontiene y autorrefiereinterminablemente, y no demuestra nada, o sea, que el lenguaje, en tanto que infinito, termina por ello estando libre de contradicciones -paradójicamente, pues con las circunvalaciones necesarias terminas demostrando lo que quieras- y cumple la descripción esa que tan bien manejáis de Gödel.

        (No pretendo resumir a Saussure ni a Peirce, digamos que es lo que yo concluí, no ellos).

  9. pseudópodo dijo:

    josele, ¿eres tan exigente con la redacción de tus alumnos? Cuando escribí el post no me sonó mal la frase, pero ahora que me lo señalas llevo un rato pensándolo y no lo tengo claro. Por ejemplo, podríamos decir “por ahí se pueden comprar hamburguesas que es imposible comer” ¿no? Que sería más o menos lo mismo que decir “es imposible comer las hamburguesas que se pueden comprar por ahí”, que me parece correcto. Pero vamos, necesitamos un gramático profesional aquí.

    En lo otro que planteas, coincido con Dadá. También en que estaría bien que explicaras algo lo de Saussure y Peirce. Por lo que yo sé el primero lo que hizo fue destacar que el lenguaje es una estructura y que lo que importa son las relaciones y las reglas de transformación y no las palabras, y en ese sentido tiene un parecido con un sistema formal. Pero no veo el parecido con la indecibilidad de Gödel. Y a Peirce llevo tiempo intentando leerlo porque muchos lo mencionan diciendo muchas cosas interesantes, pero lo poco que he intentado leer de él es muy difícil.

    Sobre el dinujito… no he sido capaz de encontrar la explicación que ví hace mucho en wordpress. com. Pero sigue siendo verde, ¿no?

  10. pseudópodo dijo:

    josele, siempre pasa lo mismo: se cruzan nuestros comentarios 😦

  11. josele dijo:

    ¡es verdad, escribimos a la vez!, si, es verde

    Tienes razón; a Peirce no hay dios que le lea. Y a Saussure, lo que leemos son apuntes de alumnos suyos. Leeré el post más depacio a ver si entiendo lo de la indecibilidad (es tentador el juego de palabras, ¿eh?

  12. pseudópodo dijo:

    OK… una cosa más: claro que hay sistemas formales no consistentes. Lo que pasa es si hay inconsistencia resulta que se puede demostrar cualquier cosa. Un poco como al dividir por cero… (Rusell demostró que él era Dios dividiendo por cero. La primera etapa era demostrar que 1=2 y la segunda se cuenta aquí. Aunque yo había oído la historia con el arzobispo de Constantinopla, o alguien así…)

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