Números al derecho y al revés

Dos curiosas cuestiones numéricas que me he encontrado estos días.

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1.

En «The world question center» de 2005 (ver post anterior) Freeman Dyson plantea un problema matemático como ejemplo de algo que sabe que es verdad pero que no puede demostrar:

Since I am a mathematician, I give a precise answer to this question. Thanks to Kurt Gödel, we know that there are true mathematical statements that cannot be proved. But I want a little more than this. I want a statement that is true, unprovable, and simple enough to be understood by people who are not mathematicians. Here it is.

Numbers that are exact powers of two are 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 and so on. Numbers that are exact powers of five are 5, 25, 125, 625 and so on. Given any number such as 131072 (which happens to be a power of two), the reverse of it is 270131, with the same digits taken in the opposite order. Now my statement is: it never happens that the reverse of a power of two is a power of five.

(Dyson da una explicación de por qué cree que esto es verdad, leer el resto aquí)

Esto me ha dejado un poco perplejo, porque da la impresión de que la demostración puede ser difícil pero no tiene por qué tratarse de una afirmación indecidible al modo de Gödel…

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2.

Leo en Microsiervos un comentario sobre el misterioso número 6174:

Existe una operación matemática llamada Operación de Kaprekar, un tanto singular. Consiste simplemente en reordenar los dígitos de un número de modo que se obtenga el mayor y el menor número posible, restando entonces el menor del mayor.

Esta operación se puede aplicar a números de cualquier tamaño, y se puede repetir una y otra vez. Resulta interesante lo que sucede exactamente con cuatro cifras, siempre que no sean todas iguales. Por ejemplo, empezando por 2007, el año en el que estamos:

• 7200 – 0027 = 7137
• 7731 – 1377 = 6354
• 6543 – 3456 = 3087
• 8730 – 0378 = 8352
• 8532 – 2358 = 6174
• 7641 – 1467 = 6174
• 7641 – 1467 = 6174
• …

Al llegar a 6174 el resultado se repite una y otra vez. (Si durante la operación aparecen números de menos de cuatro cifras, basta rellenarlos con ceros a la izquierda.) Lo curioso es que independientemente del número por el que se empiece, mientras tenga cuatro cifras y no sean todas iguales, se llega siempre al 6174. (…)

Examinar qué sucede con otros números de distinta longitud arroja más misterio que luz al asunto.

• Si se prueba con los números de dos dígitos no se llega nunca a un número fijo, sino a un bucle cíclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09
• Con tres dígitos se llega a 495
• Para cuatro dígitos el número es el misterioso 6174
• Para cinco dígitos, no hay número fijo, sino tres ciclos (además de distinta longuirud)
• Para seis dígitos, se puede llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete números
• Para siete dígitos tampoco hay número fijo, sino un único ciclo de nueve números. Para ocho y nueve hay otro par de números en cada caso.
• Con diez dígitos se puede llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o entrar en cinco ciclos cortos
• Alguien se entretuvo en programar un ordenador para calcular hasta 15 dígitos, con los que se puede llegar a ocho resultados: dos números fijos o seis ciclos cortos.

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto (…) Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.