Divagaciones sobre las progresiones

1

En el libro de Adrián Paenza que acaba de aparecer en los kioskos (por 9.95 euros, anímense) se cuenta esta vieja historia:

El Rey de un condado quería premiar a un súbdito que le había hecho un favor y le había salvado la vida. Cuando éste le dice que lo único que quiere es que ponga en un tablero de ajedrez un granito de arroz en el primer cuadrado, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, dieciséis en el quinto, treinta y dos en el sexto, y así, duplicando cada vez hasta recorrer todos los cuadraditos del tablero, el Rey descubre que no alcanzan los granitos de arroz de todo su reino (ni los de todos los reinos de los alrededores) para poder satisfacer la demanda de su “salvador”.

¿Cuántos granos de arroz salen?

Exactamente 18446744073709551615. El número es desde luego enorme, pero cuando nos encontramos con estas magnitudes la intuición nos falla. Todo nos parece igualmente “enorme”. Lo que me ha gustado de Paenza es una idea para hacer más tangible el número: pensar en el peso de ese arroz. Como él no hace la cuenta, la voy a hacer yo.

Cada grano de arroz pesa unos 30 miligramos, así que tendríamos sobre el tablero 550 miles de millones de toneladas de arroz. La cosecha mundial del año 2004 fue de 600 millones de toneladas. Redondeando, para poder pagar a su súbdito, el rey necesitaría todo el arroz que produce el mundo durante mil años.


2

Podemos saber el número de granos porque se trata de la suma de una progresión geométrica: una sucesión a_0, a_1, ..., a_n de números (“términos”) en la que el cociente de dos números sucesivos es siempre el mismo:

\frac{a_{i+1}}{a_i} = r

En nuestro caso, los números son 1,2,4,8… de modo que a_0 = 1 y r=2 (ojo, empezamos a contar casillas por el cero). A la r se le llama razón de la progresión; es fácil ver que el término genérico es a_i = a_0 r^i. Un poco menos fácil es demostrar que la suma de todos esos términos es:

\displaystyle\sum_{i=0}^n a_0 r^i = \frac{a_0 (1-r^{n+1})}{1-r}

De modo que el número de granos en la casilla i es a_i=2^i. Y la suma de los granos desde la casilla 0 hasta la n es:

\displaystyle\sum_{i=0}^n  2^i = 2^{n+1} - 1

Sustituyendo n=63, tenemos que en la última casilla hay 2^{63}=9223372036854775808 granos, y en todo el tablero, 2^{64} - 1, es decir, el bonito número con el que habíamos empezado: 18446744073709551615.

3

Hay una cosa sorprendente en este resultado (aparte de su enorme magnitud), y es que ¡la mitad de los granos del tablero están en la última casilla!. En efecto,

2^{63} \approx \frac{2^{64} - 1}{2}

Bien pensado, esto es otra manera de ver lo enormemente rápido que crece la progresión. Hay una demostración geométrica muy bonita de este resultado:

Las áreas representan el número de granos en las casillas (empezando en la última, rotulada aquí con 1; la anterior tiene 1/2 de granos, etc).

¿Qué pasa si la razón no es 2?¿Sigue siendo esto cierto? Pensando sobre la figura anterior ya se vé más o menos lo que va a pasar… pero vamos a hacer la cuenta exacta, que no cuesta nada. La fracción que el último término representa sobre el total es:

\frac{a_n}{\sum_{i=0}^n a_0 r^i} = \frac{r^n (r-1)}{r^{n+1}-1} \approx 1- \frac{1}{r}

(la última igualdad aproximada es válida siempre que r>1 y n sea grande) Cuando r=2, tenemos efectivamente que el último término representa el 50% del total; para razones mayores, el último término es más dominante todavía.

4

Mientras escribía estas divagaciones, me he encontrado otra versión del viejo cuento con el que empezábamos, que me gusta más. Aquí la dejo:

Había una vez, hace mucho tiempo, un rey que gobernaba un próspero país. La pobreza era desconocida y todo el mundo tenía un trabajo productivo. Por eso, la aparición de un mendigo caminando por la calle principal causó un gran alboroto en la capital. El rey pidió ver a este hombre extraño. Cuando se lo llevaron, el mendigo declaró que en verdad no tenía ninguna posesión ni ningún dinero para comprar comida. El rey magnánimamente le ofreció todo cuanto pudiera comer en el resto de la semana, y ropas limpias, para que el mendigo pudiera continuar su camino al reino vecino. Sorprendentemente, éste declino la oferta real, y pidió un modesto favor. El rey pidió saber de qué se trataba. El mendigo humildemente solicitó un grano de arroz para el primer día, dos el segundo, cuatro el tercero, y así sucesivamente, doblando cada día la contribución del anterior.

El rey miró por la ventana sus graneros llenos a rebosar y estaba a punto de aceptar cuando su gran visir, que recordaba lo que había aprendido en su asignatura de Introducción a las Matemáticas en la universidad local, advirtió a su majestad que se lo pensara mejor. Para calcular las implicaciones de la petición, sacó un ábaco polvoriento y empezó a calcular exponenciales. Tras un rato de trajinar, encontró que no podía expresar la maginud de los números porque se le acababan las cuentas. El rey, impaciente con su visir ante un deseo tan simple de un pobre hombre, concedió oficialmente al mendigo su deseo. No sabía que había firmado la sentencia de muerte de su reino.

Al día siguiente, el mendigo apareció para reclamar su grano de arroz. Los paisanos se rieron de él y le dijeron que más le hubiera valido aceptar la oferta del rey de comer hasta hartarse en lugar de ese miserable grano de arroz. Al segundo día, volvió a por dos granos. Una semana más tarde, trajo una cucharilla para llevarse los 128 granos que le correspondían. En dos semanas, ya era una porción no desdeñable de medio kilo. Al final del mes, había crecino a 35 toneladas. Unos días después el rey tuvo que declarar la bancarrota. Eso fue lo que se tardó en arruinar el reino.

Y colorín colorado, estas divagaciones han terminado.

About these ads
Esta entrada fue publicada en Ciencia, Ideas & Thoughts. Guarda el enlace permanente.

22 respuestas a Divagaciones sobre las progresiones

  1. Bueno, ahí te va el final de la historia que yo conozco:

    Al escuchar la propuesta del mendigo, el Rey, nada tonto y con toda la malicia propia de alguien que sabe el dinero que tiene, y que sabe hacer negocios, le ofreció lo siguiente:

    Valiente hombre que has salvado mi vida -dijo el Rey- ¿Por qué limitarse a las 64 casillas de un tablero de ajedrez? Me has hecho un gran favor y esto tiene que ser pagado a lo grande.

    Te ofrezco, valiente hombre, pagarte lo que me pides, pero para un tablero de ajedrez con una infinidad de casillas, sí, lo has escuchado bien, con una INFINIDAD de casillas, Te pagaré 1 grano de arroz por la primer casilla, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta…. y así, hasta el infinito posible número de casillas que tendría un tablero de ajedrez que esté a la altura del favor que me has hecho.

    Es más, querido sirviente de su majestad, te ofrezco pagarte todo en este momento, ¡en este mismo momento! no tendrías que venir nunca más a este Reino si no lo deseases – Concluyo el Rey.

    El Mendigo aceptó contento e ingenuo la propuesta del Rey.

    El matemático de la corte hizo un rápido cálculo:

    Sea X la cantidad de granos de arroz a pagar. Entonces

    X = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….

    Entonces si multiplicamos por 2

    2X= 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. )
    = 2 + 4 + 8 + 16 +…..
    = X – 1

    Así que el número de granos de arroz a entregarte satisface la ecuación

    2X= X-1

    que si la resolvemos nos da el valor X = -1

    entonces el Rey le tenía que pagar -1 grano de arroz, es decir, el mendigo en realidad le debía un grano de arroz.

    El mendigo, por ser mendigo, no le pudo pagar su grano de arroz y entonces fue llevado al calabozo en donde pasó el resto de sus días….

  2. Becario-E dijo:

    Bueno, lo de que suma -1 es completamente cierto si uno toma la norma 2-ádica.

  3. A. N. Ónimo dijo:

    Hay numerosas versiones de esta historia, y me da en la nariz que son todas espúreas (es decir, escritas en un momento y lugar muy posterior al objeto del relato). En la variante del inventor del ajedrez, en ocasiones se le nombra como Sisa (Sissa, Sessa, etc) y en otras permanece anónimo.

    ¿Alguien sabe algo más de esta historia? Cuándo fue escrita, de dónde sale el nombre de Sisa

  4. loiayirga dijo:

    Por mi parte sólo puedo decir que sobre esas 64 casillas (en ajedrez21.com y luego en Buho21.com) he perdido muchas horas de mi vida. Aunque no puedo decir cuantas por cada casilla.

    Lo que estoy seguro es que si hubiera dedicado a leer sólo la mitad del tiempo que en una temporada dediqué a jugar al ajedrez ahora sabría bastante más de lo que sé.

    Pseudópodo, en la entrada anterior comenté algo sobre lo de wikipedia. No sé si lo habrás visto.

  5. pseudopodo dijo:

    Rogelio, E-Becario: pasmao me habéis dejado con vuestros comentarios. Pero veo que tenéis razón, aunque lo de la norma 2-ádica lo tengo que rumiar (en mi inocencia, pensaba que iba a ser como el módulo 2 pero ya he visto que no…).

    Por otra parte, Rogelio, he comprobado que si en tu argumento multiplicas por cualquier potencia de 2 sigue saliendo X=-1, y que esto es una bonita consecuencia de lo que decía en el post de que la suma de los términos del 0 al (i-1)-simo es igual al término i (menos 1)… eso sí, la ecuación tiene otra solución: x= infinito… está claro al mendigo le pillaron porque esto ocurrió en una época antigua, de a.d.C. (antes de Cantor) ;-)

    A. N. Ónimo, seguro que la historia es apócrifa. Pero sería curioso saber de dónde viene: ¿es tradicional, tiene un autor…? (Loiayirga, tú que encontraste un antecedente griego del Aprendiz de Brujo, a lo mejor sabes algo…Sobre lo de la wikipedia, te contesto en el otro post)

  6. A mi me gustó mucho esta forma de darle un giro a la historia, aunque el final en realidad no es muy amigable.

    Estoy de acuerdo que en los números 2-áidcos el resultado es verdad, es decir X=-1 y esto es básicamente porque la sucesión 2^n converge a cero en estos números. Sin embargo, y aquí también podemos ver que el matemático de la corte no era un matemático de este siglo (ni del pasado), pues para poder hacer la multiplicación por 2 y distribuir el 2 en la suma, se necesita, al menos, que la sucesión sea convergente. Si una sucesión no converge (incluso si no converge absolutamente), entonces las leyes de las operaciones (asociativa, distributiva etc…) en general no siguen siendo ciertas. Es decir, en los números de la época x no era -1, es claro, pero lo que sí es verdad, es que en esas épocas se hacían sumas infinitas sin tener muy claro cómo y por qué daban los valores que les daban, por ejemplo esta:

    1= 1 + (- 1 + 1 – 1 +….) = (1-1) + (1-1) + … = 0

  7. pseudopodo dijo:

    Rebuscando entre mis libros, acabo de encontrar que George Gamow cuenta esta historia, diciendo que es sobre el inventor del ajedrez y llamándole Sissa Ben Dahir, pero sólo dice que es una vieja leyenda.

    Por cierto, que me habría ahorrado bastante trabajo de haberlo leído antes, porque da el número exacto de granos (y no es tan trivial como parece: prueben a hacer la cuenta en excel y verán lo que da :-( ) y hasta hace el cálculo con trigo: le sale que hace falta la cosecha mundial de 2000 años, que es del orden de lo que me sale a mí con el arroz (los granos de arroz son seguramente algo más ligeros que los de trigo, porque las cosechas son parecidas :-) )

    Por cierto, Gamow era un genio, y no sólo de la física sino de la divulgación…(el libro es “Uno, dos tres, infinito….”)

  8. Epicuro dijo:

    La historia la recuerdo gratamente porque otra versión de ella leí en mi infancia, con el tal Sissa, que era un prisionero chino, que para matar el tiempo mientras estaba en la cárcel, con un suelo de baldosas blancas y negras, que le dieron la idea del tablero. La historia habla de que se hizo tan famoso por su juego, que primero los guardianes, luego el director de la prisión y al final hasta la hija del emperador acudían a la cárcel para jugar con él. Enterado el emperador le llamó y le ofreció lo que quisiera por el invento… menos la mano de su hija. El Sissa que ademas de inventar el juego del ajedrez era muy hábil, le pidió lo que él ya sabia como imposible, los 2 elevado a la 24 granos de arroz, y el emperador, dice la historia, decepcionado por tan “humilde” petición accedió a ella y le mandó a cocina para que le dieran la cantidad pedida… y como lógicamente era imposible acceder a ella, tuvo que volverle a llamar, y esta vez si, decirle que podía pedir lo que quisiera… con lo que Sissa corrió a pedir la mano de su hija. Y colorín colorado… este cuento se ha acabado

  9. panta dijo:

    Preciosa la versión geométrica de las progresiones, es una forma de ilustrar muy adecuada para visualizarlas y explicarlas cuando lo hacemos evitando detalles (poner aquí el parental advisory ;)
    Por cierto el libro de A. Paenza está disponible on-line (lo lamento por si chafo las ventas, aunque por el precio que tiene merece indudablemente la pena comprarlo)

    http://deproapopa.blogspot.com/2007/07/archivero-agradecido.html

    Saludos.

  10. Juan Pablo dijo:

    Porque se llaman progresiones geometricas?

  11. pseudopodo dijo:

    Buenísima pregunta. No tengo ni idea. ¿Alguien sabe algo?

  12. La ilustración de la historia de granos de trigo me parece muy interesante para una clase de progresiones geométricas y cuanta enseñanza podia dejarnos esta noble ilustración y no solamente ella sino que hoy en día este interesante tema se esta aplicando en numerosos negocios una por ejemplo la empresa herbalay (se necesita vendedores) y se presentan muchos, los capacita, los entrenan y luego de un proceso de selección se quedan los que tienen tal talento de vendedores en adelante llegan a ser coordinadores ( A ) pero estos a la vez consiguen otros vendedores que pueden ser ( a1, a2, a3, … ) y cada uno de elllos a la vez pueden conseguir otros vendedores ( a11, a12, a13, ….) , ( a21, a22, a23,…..) imagínese solo en ¿ cuanto tiempo tu y yo y ellos seremos vendedores? de herbalay y todo los lay igual en los consumidores de bebidas alcoholicas el tatarabuelo da ejemplo de consumo al abuelo este al hijo y este al nieto y si son varios nietos imagínese !todos somos consumidores de alcohol! solo Dios taita puede salvarnos. gracias por pensar y escribir como los arabes hay muchso príncipes en esta tierra y sigan escribiendo a uds. mis mas profundo agradecimiento. buenos dias

  13. MOEBIUS dijo:

    Yo leí esa historia en el libro: EL HOMBRE QUE CALCULABA autor: Malba Tahan (te lo recomiendo)

  14. vampri dijo:

    no entendi eso del -1 si alguien me explica gracias, porque no tiene sentido

  15. Matías dijo:

    No, no tiene sentido, es una indeterminacion de tipo infinito menos infinito, no es tan simple como 2*X = X – 1 => X = -1 porque como dije ahi esta implicita la operacion 2*X – X.

  16. Sería una Progresión aritmética o geométrica, pero mi familia se ha extendido sobre la faz de la tierra y este es nuestra historia:

    Historia y heráldica de mi apellido Reynoso.
    Reynoso es un apellido del que sabemos que existe información de su heráldica, de su historia y de su genealogía.

    Y aquí ponemos a disposición de los estudiosos del apellido Reynoso una importante información bibliográfica que recoge su heráldica y genealogía, que son un inicio de cara al estudio de este apellido.

    El apellido Reynoso tiene escudo heráldico o blasón español, certificado por el Cronista y Decano Rey de Armas Don Vicente de Cadenas y Vicent.

    Aunque no consta que personas con el apellido Reynoso probaran su hidalguía en la Real Chancillería de Valladolid, ello no descarta su nobleza ni la probanza de hidalguía en otras Cancillerías y Órdenes Militares.

    Se sabe que los Reynoso tienen o tuvieron radicación, entre otros lugares, en:

    * Galicia.
    * Aragón.

    Bibliografía que recoge la historia y el escudo del apellido Reynoso:

    * Repertorio de Blasones de la Comunidad Hispánica, del Cronista y Decano Rey de Armas Don Vicente de Cadenas y Vicent.

    * Linajes y Blasones de Galicia, del Padre Crespo.

    * Nobiliario Español, de Julio de Atienza.

    * Diccionario de Heráldica Aragonesa, de Bizén Do Río Martínez.

    Ponemos a su disposición la heráldica, el escudo del apellido Reynoso en diversas formas, son productos del prestigioso Gabinete Heráldico.
    Pergamino con el escudo del apellido Reynoso y su historia y origen del apellido Reynoso.
    Durante muchos años, muchos autores, entre los que destaca Bizén Do Río Martínez, intentaron recopilar en protocolos, salvas, firmas y otros documentos, muchos blasones de Aragón, entre los que se encuentran los del apellido Reynoso, que presenta la gran obra de este autor “Diccionario de Heráldica Aragonesa”, que en muchos casos, también han sido comprobados en iglesias, ermitas y cementerios. Todos han sido cuidadosamente anotados y sobre todo, con su procedencia comprobada. Siglos de historia han conformado estos blasones, entre los que se encuentra los del apellido Reynoso y por toda la geografía aragonesa podemos admirar casonas y fachadas que aún conservan las piedras armeras que blasonan el linaje de los antiguos infanzones, en la mayoría de los casos hoy habitadas por descendientes de aquellos hijosdalgos rurales, como los del apellido Reynoso. Nuestros infanzones, como seguramente los Reynoso, conscientes de su deber y haciendo gala de la hidalguía de su raza, promovían en muchas ocasiones mesnadas a su costa y, dejando casa y hacienda, partían a la reconquista, engrandeciendo el reino aragonés y conformando con su esfuerzo y sacrificio lo que más tarde sería la Corona de Aragón. Aquí tenemos también la heráldica e historia del apellido Reynoso.

    La obra “Linajes y Blasones de Galicia”, del padre Crespo, donde aparece la heráldica y la historia del apellido Reynoso, es el más importante tratado de la heráldica de Galicia, y fue publicado a trescientos años vista de la póstuma aparición del “Nobiliario, Armas y Triunfos de Galicia”, del Padre Felipe de la Gándara. Su autor el Padre Crespo Pozo, tuvo para sus investigaciones, vigilias y andaduras costosas que se veían recompensadas con la amable colaboración de Nobles como los Duques de Medinaceli facilitándole el archivo de la Gran Casa marquesal de Camarasa, etc. Todo ello redundó en una pluralidad de fuentes de consulta que hacen la obra erudita, de carácter enciclopédico y de alcance ilustrativo en la heráldica gallega. Esta obra recoge, como ya hemos dicho, la historia y heráldica del apellido Reynoso por lo que los Reynoso o bien son gallegos o vinculados en algunas de sus ramas a Galicia.

    El apellido Reynoso aparece recogido por el Cronista y Decano Rey de Armas, Don Vicente de Cadenas y Vicent, en su “Repertorio de Blasones de la Comunidad Hispánica”, eso significa que el linaje Reynoso tiene armas oficiales certificadas por Rey de Armas. Dicho Repertorio de Blasones de la Comunidad Hispánica es la mayor obra de heráldica española, donde aparecen los apellidos con su heráldica como el apellido Reynoso ordenados alfabéticamente, con sus escudos. En dicha obra se han incluido el contenido de muchos manuscritos de la Biblioteca Nacional de Madrid y correspondientes a Minutarios de Reyes de Armas y recoge apellidos que como Reynoso son españoles o muy vinculados por unas u otras razones a España, por lo que los del apellido Reynoso están en esta tesitura. También se suman millares de escudos heráldicos y heráldica procedentes de varias Secciones del Archivo Histórico Nacional, así como de la Real Chancillería de Valladolid, Salas de los Hijodalgos y de Vizcaya, etc. En resumen, los del apellido Reynoso han realizado alguna prueba de nobleza o hidalguía.

    Julio de Atienza, en su “Nobiliario Español”, recoge la heráldica e historia del apellido Reynoso. Esta obra es de gran importancia para la heráldica ya que recoge la historia, pruebas de nobleza e hidalguía de los apellidos y linajes entre los que está el apellido Reynoso. También figura el apellido Reynoso en el “Diccionario Heráldico y Nobiliario de los Reinos de España” de Fernando González Doria, aunque presenta menos datos del apellido Reynoso que el “Nobiliario Español”.

    * Y aquí ponemos a disposición de los estudiosos del apellido Reynoso una importante información bibliográfica que recoge su heráldica y genealogía, que son un inicio de cara al estudio de este apellido.

    El apellido Reynoso tiene escudo heráldico o blasón español, certificado por el Cronista y Decano Rey de Armas Don Vicente de Cadenas y Vicent.

    Aunque no consta que personas con el apellido Reynoso probaran su hidalguía en la Real Chancillería de Valladolid, ello no descarta su nobleza ni la probanza de hidalguía en otras Chancillerías y Órdenes Militares.

    Se sabe que los Reynoso tienen o tuvieron radicación, entre otros lugares, en:

    * Galicia.
    * Aragón.

    Durante muchos años, muchos autores, entre los que destaca Bizén Do Río Martínez, intentaron recopilar en protocolos, salvas, firmas y otros documentos, muchos blasones de Aragón, entre los que se encuentran los del apellido Reynoso, que presenta la gran obra de este autor “Diccionario de Heráldica Aragonesa”, que en muchos casos, también han sido comprobados en iglesias, ermitas y cementerios. Todos han sido cuidadosamente anotados y sobre todo, con su procedencia comprobada. Siglos de historia han conformado estos blasones, entre los que se encuentra los del apellido Reynoso y por toda la geografía aragonesa podemos admirar casonas y fachadas que aún conservan las piedras armeras que blasonan el linaje de los antiguos infanzones, en la mayoría de los casos hoy habitadas por descendientes de aquellos hijosdalgos rurales, como los del apellido Reynoso. Nuestros infanzones, como seguramente los Reynoso, conscientes de su deber y haciendo gala de la hidalguía de su raza, promovían en muchas ocasiones mesnadas a su costa y, dejando casa y hacienda, partían a la reconquista, engrandeciendo el reino aragonés y conformando con su esfuerzo y sacrificio lo que más tarde sería la Corona de Aragón. Aquí tenemos también la heráldica e historia del apellido Reynoso.

    La obra “Linajes y Blasones de Galicia”, del padre Crespo, donde aparece la heráldica y la historia del apellido Reynoso, es el más importante tratado de la heráldica de Galicia, y fue publicado a trescientos años vista de la póstuma aparición del “Nobiliario, Armas y Triunfos de Galicia”, del Padre Felipe de la Gándara. Su autor el Padre Crespo Pozo, tuvo para sus investigaciones, vigilias y andaduras costosas que se veían recompensadas con la amable colaboración de Nobles como los Duques de Medinaceli facilitándole el archivo de la Gran Casa marquesal de Camarasa, etc. Todo ello redundó en una pluralidad de fuentes de consulta que hacen la obra erudita, de carácter enciclopédico y de alcance ilustrativo en la heráldica gallega. Esta obra recoge, como ya hemos dicho, la historia y heráldica del apellido Reynoso por lo que los Reynoso o bien son gallegos o vinculados en algunas de sus ramas a Galicia.

    El apellido Reynoso aparece recogido por el Cronista y Decano Rey de Armas, Don Vicente de Cadenas y Vicent, en su “Repertorio de Blasones de la Comunidad Hispánica”, eso significa que el linaje Reynoso tiene armas oficiales certificadas por Rey de Armas. Dicho Repertorio de Blasones de la Comunidad Hispánica es la mayor obra de heráldica española, donde aparecen los apellidos con su heráldica como el apellido Reynoso ordenados alfabéticamente, con sus escudos. En dicha obra se han incluido el contenido de muchos manuscritos de la Biblioteca Nacional de Madrid y correspondientes a Minutarios de Reyes de Armas y recoge apellidos que como Reynoso son españoles o muy vinculados por unas u otras razones a España, por lo que los del apellido Reynoso están en esta tesitura. También se suman millares de escudos heráldicos y heráldica procedentes de varias Secciones del Archivo Histórico Nacional, así como de la Real Chancillería de Valladolid, Salas de los Hijodalgos y de Vizcaya, etc. En resumen, los del apellido Reynoso han realizado alguna prueba de nobleza o hidalguía.

    Julio de Atienza, en su “Nobiliario Español”, recoge la heráldica e historia del apellido Reynoso. Esta obra es de gran importancia para la heráldica ya que recoge la historia, pruebas de nobleza e hidalguía de los apellidos y linajes entre los que está el apellido Reynoso. También figura el apellido Reynoso en el “Diccionario Heráldico y Nobiliario de los Reinos de España” de Fernando González Doria, aunque presenta menos datos del apellido Reynoso que el “Nobiliario Español”.

    * El apellido Reynoso figura en la lista de apellidos de Gabinete Heráldico por lo que su historia completa y escudo o escudos heráldicos pueden ser conocidos en su página web: http://www.heraldico.com

    La heraldica del apellido Reynoso así como su historia está a su disposición aquí: Heraldica, historia, origen y escudo del apellido Reynoso

    Palabras Relacionadas: Apellido Reynoso | Origen del apellido Reynoso | Genealogia del apellido Reynoso | Heraldica del apellido Reynoso | Apellidos Reynoso | Genealogia de los Reynoso | Origen de los Reynoso | Significado del apellido Reynoso.

    Ir a la página principal de Heraldica del apellido | Ir al índice de la letra R Ir al índice anterior de apellidos | Ir al apellido anterior nealogia de los Reynoso | Origen de los Reynoso | Significado del apellido Reynoso.

    Ir a la página principal de Heraldica del apellido | Ir al índice de la letra R Ir al índice anterior de apellidos | Ir al apellido anterior

  17. Estoy muy emocionado de saber que mi familia ha sido siempre noble y de una humildad profunda, encontrarse con la familia REYNOSO es pasarla un dia agradable, un dia de amistad, un dia de profundo afecto, donde haya un REYNOSO es motivo de cariño, de encanto y por que no decir de ternura somos amigables y tiernos pero tenemos grandes responsbilidades como niños, como estudiantes, como trabajadores, como padres y como abuelos. a mi familia REYNOSO ” nunca abandonen a sus hijos, es un REYNOSO, POR SUS VENAS SEGUIRAN CORRIENDO NUESTRA MISMA SANGRE. sigamos siendo hombres y mujeres de bien. mi cariño y abrazo a toda mi familia desde Perú a México a España y toda la tierra.

  18. ariana arce dijo:

    bueno eso lo del apellido reynoso nada que ver con el tema que se ha tocado. ubicate.

    • German Reynoso dijo:

      gracias por tu comentario, solo un consejo, ama tu patria, a tus padres que te dieron la vida, ama tus apellidos, recuerda quien eres, levántate y nunca retrocedas, sonriele a la vida con mucho aprecio Germancito.

  19. B. dijo:

    Pero…poniéndonos en la primera parte, en la que gana el mendigo. Si un grano de arroz pesa 30 miligramos, entonces tenenemos

    18446744073709551615*30/1000.000.000= 55 millones de Tm

    (…menos de la décima parte de la producción mundial del año 2004, no?

  20. Pingback: Ejemplos de funciones exponenciales « Matemáticas (4ESO-opc A)

  21. Juraría que eran sandías, no arroz…

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s