Versiones (II): Donde la bolsa se convierte en una nube de puntos

En el post anterior teníamos tres versiones de la bolsa de de una tienda de ropa: la original, en la que la palabra se repetía en distintos tamaños; la bolsa nº2,  en la que lo que cambiaba era el idioma, y la nº3, donde la variable era el color designado por la palabra.

A los físicos nos gustan los modelos matemáticos, así que voy a hacer un modelo geométrico muy sencillo de nuestras tres bolsas. Si representamos cada palabra por un punto, la primera bolsa estaría dada por una ristra de puntos a lo largo del eje “tamaño” (eje t):

En el extremo izquierdo estaría el “Blanco” más pequeño y en el derecho el más grande. En la segunda bolsa, los puntos se distribuirían por el eje “idioma” (eje i):

(tenemos que imaginar que previamente hemos rotulado las posiciones a lo largo del eje con los nombres de los idiomas, por ejemplo en orden alfabético). La tercera bolsa estaría representada por una hilera de puntos en el eje de colores (eje c):

Parece que no ganamos nada con este ejercicio trivial, pero es un primer paso en un camino que nos acabará llevando muy lejos. Por ejemplo, a los trucos de la inteligencia artificial (los de esos programas que reconocen caras o recomiendan música). E incluso, a mi visión favorita del mundo. Sólo hace falta un poco de paciencia: chi va piano va lontano.

* * *

Nuestras tres bolsas son muy sencillas porque en cada una de ellas sólo variamos un atributo: tamaño, idioma o color. Podemos hacer una bolsa más interesante variando a la vez, por ejemplo, el tamaño y el idioma de las palabras:

Para representar esta bolsa en nuestro modelo necesitamos a la vez los dos ejes t e i.  Pero seguimos teniendo un solo diagrama si los colocamos perpendicularmente:

Tenemos a la vez diversos tamaños y diversos idiomas. Esto ya no es tan trivial como antes, y lo es menos aún si variamos a la vez el color, en lugar de poner siempre “Blanco” (me da pereza hacer el dibujo de la bolsa, pero seguro que el lector se la imagina). Esta bolsa tan variada vendría representada en nuestro modelo por una nube de puntos, pero ahora en un espacio tridimensional, con los tres ejes perpendiculares t, i y c.

¿Y si añadimos otra variable? ¿Si, por ejemplo, también el tipo de letra puede cambiar de una palabra a otra? No problem: añadimos un cuarto eje perpendicular a los demás.

¡Pero cómo!¿Desde cuándo podemos tener cuatro ejes perpendiculares? Quien pone esta objeción es que está demasiado anclado en el mundo tangible. No podemos visualizar cuatro ejes perpendiculares, porque este mundo sólo tiene tres dimensiones espaciales (que podamos percibir, habría que matizar). Pero podemos imaginar perfectamente un espacio de cuatro dimensiones, que matemáticamente no tiene nada de particular: un punto A en cuatro dimensiones está dado por sus posiciones a lo largo de los cuatro ejes (cuatro números que escribiremos (a1, a2, a3, a4) y llamaremos componentes de A) y todo lo que hacemos en dos o tres dimensiones se puede generalizar trivialmente a 4.

Por ejemplo: la distancia entre dos puntos A=(a1, a2)  y  B=(b1, b2), que está dada en 2D por el teorema de Pitágoras:

d_2 = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}

en 3D es:

d_3 = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2}

y en 4D es:

d_4 = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2 + (a_4 - b_4)^2}

El lector ya se habrá dado cuenta de que en realidad podemos generalizar a n dimensiones:

d_3 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {(a_i - b_i)^2}}

* * *

Y aquí empezamos a ver la potencia de nuestro modelo geométrico. Cualquier nuevo atributo que podamos variar añade una nueva dimensión al diagrama, y cada bolsa posible está representada por una nube de puntos característica.

Por ejemplo, una nueva variable puede ser el color con el que escribimos la palabra (lo llamaremos color-color, para distinguirlo del color-palabra con el que antes jugábamos). Una bolsa como esta…

…se representaría así:

(los puntos están en la diagonal porque cada palabra está escrita en su color: el negro por ejemplo está escrito en negro). Pero una bolsa como esta otra…

…en la que tres elementos con diferente color-palabra (Blanco, Negro y Violeta) tienen el mismo color-color (Blanco) se representaría así:(suponiendo que Blanco ocupe el primer puesto de la lista de colores-color, etc). Íbamos ya por cinco dimensiones (tamaño, idioma, color-palabra, tipo de letra y color-color) pero como aquí sólo variamos dos, la nube de puntos está confinada a un plano  (un subespacio de ese espacio 5D) y podemos visualizarla sin dificultad.

Nuestro modelo es intuitivo, pero podemos encontrarle un defecto: la nube de puntos no describe la configuración espacial de las palabras. Si en la bolsa anterior las desordenamos (y empezamos por Magenta en vez de por Blanco, por ejemplo) la nube no cambia. De modo que nubes distintas implican bolsas distintas, pero bolsas distintas pueden tener la misma nube si sólo difieren en el orden de las palabras. Esto tiene fácil arreglo, añadiendo una dimensión más (seguro que se lo imaginaban): suponemos  que en la bolsa hay unas casillas, identificadas por un número, en las que ponemos las palabras, y añadimos este “eje de orden”, perpendicular a los anteriores.

* * *

De este modo cada posible bolsa se representa, de modo unívoco, por una nube de puntos en un espacio de muchas dimensiones. Y ahora que hemos transformado las bolsas en objetos geométricos, podemos manipularlas a nuestro antojo. Por ejemplo, ¿cuándo dos bolsas son parecidas? Cuando sus nubes de puntos son próximas. Podemos cuantificar ese parecido, por ejemplo mediante la distancia entre los “centros de masas” de las dos nubes calculada con el teorema de Pitágoras, o mediante procedimientos estadísticos más complicados.

Pero la potencia de la idea es que se la podemos aplicar virtualmente a todo. Por ejemplo, dos canciones. Podemos hacer una lista de atributos para cada canción, y muchos de ellos (por ejemplo, el ritmo o la gama dinámica) los podría identificar un sistema automático.  Supongamos que hay n atributos. Una canción que nos guste es entonces una nube de puntos en un espacio n-dimensional. Y una canción parecida será una nube próxima. El sistema automático nos la puede recomendar: inteligencia artificial.

Y podemos, claro, ir aún más lejos. Todos los objetos de nuestra experiencia están definidos por sus atributos. Podemos imaginar un espacio de muchísimas dimensiones, y ese espacio sería la realidad (una realidad multidimensional, como ya dije alguna vez). O, para ser más precisos, será un modelo de la realidad, pero un modelo mucho mejor que la mayoría de los que inconscientemente manejamos.

Algo más de eso diremos en el próximo post, que este ya es desmesuradamente largo.

Esta entrada fue publicada en cultura, estadistica, filosofía, Ideas & Thoughts, Matematicas, Visualización y etiquetada , , . Guarda el enlace permanente.

22 respuestas a Versiones (II): Donde la bolsa se convierte en una nube de puntos

  1. Dr.J dijo:

    En realidad no iba a comentar hasta el final de la serie, pero lo que me preocupa es el principio de la primera parte. Dices que ves una chica con una bolsa y ¡te fijas en la bolsa! esto es triste.
    Recuerda a aquella boutade del 68 “cuando el dedo señala la Luna el burgués (o el imbécil) mira el dedo”. Ya decía Borges (creo) que aparte de que moon sea monosílabo y luna bisílabo, no podíamos aducir muchas razones para que un término “correspondiera” mejor que otro a su referente.
    Por cierto ¿podrías darnos una definición operativa de atributo? porque estaba el hombre sin atributos aquel de Musil. Thanks!

  2. edulcorado dijo:

    Vale, un modelizado de la realidad tipo Matrix, con matrices de n-dimensiones. Con más aspectos de los que podemos percibir con nuestros limitados sentidos..pero What else?
    En mi modesta opinión deberíamos pasar a resolver el asesinato del último capítulo-post, si no queremos un bajonazo de audiencia. (yo estoy perdido, seguro que no es el mayordomo…)

  3. edulcorado dijo:

    Carl…o Richard, Who knows?

  4. pseudópodo dijo:

    Dr.J, precisamente nunca me había fijado en las bolsas porque siempre me había fijado en las chicas. Pero ya ves, la filosofía surge cuando te apartas de lo que te dicta el instinto…
    Atributo: cualquier propiedad que percibimos y que podemos ordenar en una escala (no necesariamente numérica).

    edulcorado, me has dado una idea para el título del último post de la serie (el próximo, lo prometo): Las dimensiones robadas. El asesino… sí, ya sabes que aquí los principales sospechosos son siempre los mismos 😉

    Supongo que el post es demasiado largo y hasta tiene fórmulas (aunque sean versiones de la misma) y ya se sabe que cada fórmula divide el número de lectores por dos, y en verano por cuatro, supongo. Pero hay que hacer esto de vez en cuando, que aquí no miramos la cantidad sino la calidad de la audiencia.

  5. Marc dijo:

    Yo soy audiencia aun en verano; y me parece muy interesante el asunto. Considerando que me tengo por el ser más “anumérico” de la Tierra -bien que me pesa a mí tal antonomásico “anumerismo”-, he seguido con cierta facilidad la exposición.

  6. josele dijo:

    ¿de verdad que se puede hacer esto -id est, construir estas realidades- con el lenguaje?

    es la pera: Pesudópodo, deberías estudiar Semiótica.

    saludos

  7. Sim dijo:

    Impresionante y clarificador. Muchas gracias por el esfuerzo didáctico. Como modelación de la realidad me suena enormemente plausible considerar cada atributo una dimensión (lógicamente, con sus problemillas, pero como modelo, irreprochable). Me recuerda a aquello tan místico que dijo Ruby Rucker, seres fractales encerrados en espacios de Hilbert. Grande…

  8. Sim dijo:

    Y en cuanto a reflejar linguisticamente el modelo, pues hombre… Bolsa estampada con nombres de colores cada uno en el color refereido al nombre y a diferente cuerpo de letra sobre un papel reciclable de 120 gramos mate de capacidad de 0,2 m3 rematada por asas de cuerda de cáñamo etc…

  9. pseudópodo dijo:

    Gracias Marc y sobre todo Sim por lo de “impresionante y clarificador”. Con eso ya me compensa el esfuerzo didáctico.

    josele, viniendo de ti, creo que lo de estudiar semiótica es también un elogio, pero tampoco digo que el lenguaje construya estas realidades.

    Quizá habrá que hablar más de eso, pero de momento lo que intentaba hacer aquí es algo previo: explicar una manera de modelizar cosas que es muy sencilla y muy potente: simplemente, a cada atributo independiente de un objeto (supongamos que hay n) se le asigna un eje, de modo que el objeto se convierte en un punto en un espacio n-dimensional. En esta idea tan sencilla se basa una parte muy importante de una disciplina entera: el reconocimiento de patrones, que está detrás de multitud de aplicaciones. Ponía los ejemplos de las recomendaciones automáticas de música de Last.FM y del reconocimiento de rostros de Picassa, pero también están los programas anti-spam, los que se utilizan en robots de cadenas de montaje o para analizar imágenes de satélite…

    Curiosamente esto es poco conocido fuera de los círculos de enterados que lo usan para hacer “minería de datos” (como harán con toda seguridad facebook y google para saber sobre nosotros más que nosotros mismos…) Mucho menos se ha usado como metáfora filosófica. Y esa es precisamente mi idea: extender el modelo más allá de objetos concretos (la bolsa, o una canción, o una imagen de una cara), a la realidad entera. Por supuesto, al hacer esta extensión deja de ser un modelo matemático bien definido y se convierte en una metáfora, pero creo que es una metáfora muy enriquecedora (aunque parece que no le ha gustado a casi nadie 😦 )

  10. Jose dijo:

    ¿El objetivo que persigues no se parece un poco al análisis de los mitos propuesto por Lévi-Strauss?

  11. pseudópodo dijo:

    Jose, de Lévi-Strauss no he leído más que Tristes Trópicos, así que no puedo hablar más que de oídas. No se me había ocurrido, pero quizá sí que hay una afinidad, sólo que su modelo estaba más inspirado por la combinatoria y el álgebra (los atributos toman valores discretos) y el mío por los espacios de muchas dimensiones (pero continuos) que se usan en física y en minería de datos… Pero precisamente su idea de centrarse en el estudio la estructura y las relaciones, y no de presuntas “sustancias” me parece muy interesante y tiene mucho que ver con lo que yo planteo.

  12. guajiro dijo:

    Hasta aquí, todo es válido si no nos alejamos del enfoque estrictamente mecanicista. Los patrones multivariados en sistemas físicos son sólo generalizaciones de aquellas ya planteadas en la estadística de Gibbs para sistemas en equilibrio: dos sistemas resultan similares — o constantes — si sus densidades fásicas son similares, un estamento que en sus versiones numéricas requiere entre siete y diez dimensiones…
    Pero hay dos pequeños escollos conceptuales que deben puntualizarse antes de seguir: el primero es el de “realidad entera” — que es el término que empleas — y el segundo la abundancia enorme de un tipo de atributo que plagan la caracterización humana de esa realidad: el sub ordinal. Hay atributos nominales, atributos subjetivos que harían romper el carácter univoco de la relación entre “la bolsa”, entendiendo por ella cualquier “objeto de caracterización”, y su correspondiente densidad fásica… Si así fueran las cosas, nos estamos olvidando de los qualia del primer post… para encerramos en un fisicalismo simplista.
    En este rollo del estudio de patrones, hay mucho que, creo, aún no podemos expresar en lenguaje simbólico… hace falta otro Turing. Al margen: sería interesante analizar por qué si los humanos somos tan buenos en el manejo y reconocimiento de patrones, y si la matemática no es más que el estudio general de patrones, es tan difícil convencer al humano de la utilidad y belleza de la matemática.

  13. Pseudópodo, la batalla contra el integrismo materialista es ardua ¡¡Un saludo!!

  14. Marc dijo:

    “Pseudópodo, la batalla contra el integrismo materialista es ardua ¡¡Un saludo!!”

    No saquemos cruzadas -y esto lo digo por si las moscas- de donde no las hay; no existe tal “integrismo materialista”; existen convicciones materialistas (su existencia está a la par con las convicciones que refutan el materialismo), cosas que distan mucho del integrismo. La perspectiva de “algo” que no sea materia me parece a mí una hipótesis muy poco científica -en todo caso, sería menester que primero se explicara, para que la hipotesis fuese, en la medida de lo posible, “correcta” o completa, qué es ese algo que no es materia-. Si la convicción “antimaterialista” (o antifisicalista; que, para este comenatrio, tanto monta Isabel como Fernando) se demostrara como la verdadera, entonces bienvenida sea, y al saco con la “metafísica materialista”; mientras, al margen de evidencias de ausencia y demás ardides del lenguaje, al igual que unicornios y dioses misericordiosos que velan por sus pobres criaturas (pero que no tienen reparos en provocar terremotos) las propuestas no materialistas forman parte de la necesidad de hallarle un sentido a esta cosa tan asbusrda que es la vida; es decir, forman parte del miedo humano, de la condena que impone la biología: quiero creer que hay algo más; y lo quiero con tanto empeño que, al final, “lo hay”. En cierto sentido, el “no materialismo” y la religión son una misma cosa: la pena por la patata de la que hablaba Pseudópodo; o, para ser más precisos, el deseo “necesario” de que esa pena por la patata tenga un sentido “trascendente” y no biológico.

  15. Estoy muy de acuerdo con lo que dice Marc, salvo en su negación del “integrismo” -reconozco que mejor sería decir “ortodoxia”- materialista. En los círculos hegemónicos en el ámbito de la ciencia y la cultura, toda sugerencia de la posible existencia de un principio espiritual transmundano suele ser despachada rápidamente como estúpida superchería. Es verdad que no se trata de algo sujeto a experimentación científica, pero tampoco lo es la teoría de cuerdas. Y es que hay modos de conocimiento no científico -caso de la meditación- para acercarse de otra manera -¿acaso más certera?- a eso que llamamos la realidad. La cuestión no es buscar una trascendencia por querer creer -por necesitarlo- en algo. Se trata de buscar respuestas sin anteojeras ni pretensiones vanas -por ejemplo, la de vivir eternamente en cuerpo y alma- a las preguntas de siempre, aunque sin perder el discernimiento y el sentido crítico (no es cuestión de tragarse cualquier sandez). Porque el Universo es tan, tan extraño…

  16. guajiro dijo:

    Una acotación al comentario de Fabelo. Con la definición de teoría seguimos hundiéndonos en las anfibologías. La Teoría de Cuerdas es más una teoría matemática que física, justo por el asunto de la verificación experimental concreta y las dudas que afloran sobre sus posibles predicciones. La aceptación de una teoría física, requiere de un tiempo de incubación (kuhneana o lakatiana?) que va más allá de la belleza del modelo teórico y de algunos experimentos validantes. Por otra parte, está el hecho de que no toda teoría correctamente predictiva, es físicamente acertada. Puede mencionarse a Ptolomeo, o a Voigt… que es el caso citado por Penrose en “The Road to…”, justo al discutir el estatus físico de la teoría de Cuerdas…. Véase 31.18 The physical status of string theory?
    Pero, no saquemos machetes, y veamos si la Epistemología está también dentro de la bolsa blanca de Pseudópodo…

  17. loiayirga dijo:

    ¿por qué tardará tanto Pseudópodo en sacar el último post de esta serie?
    ¿No será que se ha metido en un callejón sin salida?
    Por un lado nos dice que en su modelo matemático podríamos asignar una nube de puntos diferente a cada uno los objetos de nuestra experiencia. Es decir: toda la realidad es matematizable y cada uno de los objetos es representable por una nube de puntos. Que Pseudópodo diga esto no es sorprendente pues siempre se ha inclinado por el platonismo.
    Por otro lado el gran enemigo de Pseudópodo es el reduccionismo cientifista. Contra el mundo plano/chato. Con el título del último post (las dimensiones robadas) ya nos anuncia cual es su idea principal y que no es nueva en este blog: A la realidad toda los cientifistas le roban o le quieren robar dimensiones.
    ¿Dónde veo yo la colisión y el problema entre estas dos afirmaciones? Al afirmar que la realidad es toda ella matematizable ¿no está precisamente Pseudópodo afirmando la idea principal de cientifismo? ¿Os acordáis de la red de Edington?
    https://pseudopodo.wordpress.com/2006/12/15/la-red-de-eddington/
    Por un lado Pseudópodo nos dice que se puede construir una red que atrape toda la realidad (su modelo matemático de múltiples dimensiones) y por otro lado creo que va a reivindicar que hay “cosas” que se escapan de la red de la ciencia. ¿No es esto contradictorio? Si nada escapa al modelo matemático creado ¿no ha conseguido Pseudópodo una red que lo atrapa todo? ¿También lo que cada objeto individual significa para cada persona, es decir los atributos subjetivos que nombra GUAJIRO?
    ¿No está Pseudópodo poniendo en manos de los cientifistas el más poderoso argumento a su favor? Todo lo que existe puede ser matematizado y modelizado (¿es correcto el uso de esta palabra?) por la ciencia.
    Otra pregunta: ¿Cómo casa ese mundo objetivo que Pseudópodo ha dibujado con el mundo del sentido y del deseo humano? La importancia que cada individuo le de a un objeto ¿Es una dimensión más también representable matemáticamente? ¿Cuántas realidades hay entonces? ¿Tantas como individuos?
    Y una última pregunta sobre un asunto diferente: Esta realidad representada en el modelo ¿es la realidad humana? ¿Todos los atributos de la realidad interesantes para un topo o para un mosquito, por ejemplo, también han de ser representados en el modelo?

  18. pseudópodo dijo:

    Amigo loiayirga y amigos todos: ¡el problema es que no estoy de vacaciones! Esa es la principal razón para no sacar el post de conclusión… que al paso que voy, a lo mejor son dos. Aunque reconozco que me he metido, si no en un callejón sin salida, sí en un pequeño embolado. Sólo que creo que el embolado cientifista es mayor aún.

  19. Marc dijo:

    Bueno, Fabelo, queda demostrar que la meditación es una actividad epistemológica (¿que conoce uno cuando medita?) y que existe ese “principio espiritual transmundano”; pero claro, lo segundo encierra una contradicción: ¿cómo conocer algo que no es material sino espiritual? ¿Qué suerte de experimentos se han de llevar a cabo para que nos cercioremos de que existe un “principio espiritual”? Y, si existe, ¿cuál es su función o su cometido? ¿Tiene voluntad? ¿Forma parte de todo y de todos? ¿Es, siguiendo la anterior pregunta, algo consustancial a lo material? ¿Tiene, por tanto, el universo una naturaleza dual?

    En fin; preguntas y más preguntas.

    “Porque el Universo es tan, tan extraño…”

    Sí, pero el universo existe como cosa extraña. Lo espiritual no puede existir, porque sólo existe lo material. Nunca he entendido que se apele a la extrañeza del universo para insinuar que hay algo que no pertenece a la propia sustancia de este. El universo será o no extraño (más bien nos es desconocido) pero lo tenemos delante y podemos intentar explicarlo. ¿Cómo explicamos lo que no tiene forma, ni dimensiones, ni composición química, ni textura, ni campos magnéticos ni “ná” de “ná”…?

    En todo caso, reitero lo dicho; si hay una no materia, bienvenida sea; el asunto pasa por conocer la verdad, sea esta la que fuere.

  20. Marc, en este asunto estoy actuando en cierto modo de abogado del diablo. Solo pretendo apuntar lo poco que sabemos del Cosmos y de sus ingredientes -la materia oscura y la energía oscura, de las que desconocemos absolutamente todo, representan un 95% del contenido del Universo conocido- como para descartar tajantemente la existencia de alguna sustancia exótica a la que podríamos identificar como alma universal, principio espiritual o como se quiera. Puede que el hipotético acercamiento a esa sustancia (de existir) no sea posible a través de la ciencia, pero sí mediante vías personales como la meditación. Yo no he practicado meditación en serio, pero conozco a gente que lo ha hecho y que asegura que se entra en un contacto gozoso con ‘algo’ universal: se trata al parecer de una experiencia inefable que apunta a la existencia de alguna cosa (¿quizá de ese mundo matemático-platónico que sostiene Penrose?) ahí fuera (o dentro, o en ambos sitios).
    Un ser humano es capaz de captar el color azul (de percibir la ‘azulez’) sin necesidad de conocer la naturaleza ondulatoria de la luz. Y también de reproducirse sin saber lo que son los gametos sexuales. Un murciélago no necesita conocer el concepto de ultrasonido para guiarse con sus ecos. Si esto es así, quizá todos los seres conscientes sean potencialmente capaces de una conexión profunda con esa hipotética sustancia exótica (e improbable, he de reconocer) elusiva de la ciencia.

  21. pseudópodo dijo:

    Bueno, al final he conseguido escribir el tercer post, aunque no se ha titulado “las dimensiones robadas”. No creo que haya podido contestar muchas de estas interrogantes, pero ahí podemos seguir la discusión (aunque advierto que estoy exhausto y con ganas de vacaciones… 🙂 )

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s